Question

在 $xy$ 坐标系中，格点是指 $(x, y)$ 中 $x$ 和 $y$ 都为整数的点。直线 $y = mx +2$ 不经过任何满足 $0 < x \le 100$ 的格点，且对所有 $m$ ，若 $\frac{1}{2} < m < a$ ，这一结论都成立。 $a$ 的最大可能值是多少？

A lattice point in an $xy$ -coordinate system is any point $(x, y)$ where both $x$ and $y$ are integers. The graph of $y = mx +2$ passes through no lattice point with $0 < x \le 100$ for all $m$ such that $\frac{1}{2} < m < a.$ What is the maximum possible value of $a?$

$\dfrac{51}{101}$

$\dfrac{50}{99}$

$\dfrac{51}{100}$

$\dfrac{52}{101}$

$\dfrac{13}{25}$

答案：B

知识点：格点斜率奇偶性

难度评级：2350

小提示：

当 $mx$ 为整数时，向下平移 $2$ 后的直线会经过格点。

A lattice point occurs when $mx$ is an integer after shifting down by $2$

大提示：

检查大于 $\frac{x}{2}$ 的最小整数，其中 $1\le x\le100$ 。

Check the nearest integer above $\frac{x}{2}$ for each $1\le x\le100$

解答：

将图像下移 $2$ 。问题等价于找最小的 $m\gt\dfrac12$ ，使直线 $y=mx$ 经过某个满足 $0\lt x\le100$ 的格点。

对固定整数 $x$ ，最小整数 $y$ 必须满足 $\frac{y}{x}\gt\frac{1}{2}$ 。它为 $\frac{x}{2}+1$ （若 $x$ 为偶数），以及 $\frac{x+1}{2}$ （若 $x$ 为奇数）。

候选斜率为 $\dfrac12+\dfrac1x$ （当 $x$ 为偶数），在 $x=100$ 时最小为 $\dfrac{51}{100}$ 。候选斜率为 $\dfrac12+\dfrac1{2x}$ （若 $x$ 为奇数），在 $x=99$ 时最小为 $\dfrac{50}{99}$ 。

两类中较小的端点是 $\dfrac{50}{99}$ 。因此当 $m$ 满足 $\dfrac12\lt m\lt\dfrac{50}{99}$ 时不会经过这些格点，而这个上端点已经是可能的最大值。

所以正确答案是 B。

Shift the graph down by $2$ . The problem is equivalent to finding the smallest slope $m\gt\dfrac12$ for which $y=mx$ passes through a lattice point with $0\lt x\le100$ .

For a fixed integer $x$ , the smallest integer $y$ with $\frac{y}{x}\gt\frac{1}{2}$ is $\frac{x}{2}+1$ when $x$ is even, and $\frac{x+1}{2}$ when $x$ is odd.

Thus the candidate slopes are $\dfrac12+\dfrac1x$ for even $x$ , minimized at $x=100$ as $\dfrac{51}{100}$ , and $\dfrac12+\dfrac1{2x}$ for odd $x$ , minimized at $x=99$ as $\dfrac{50}{99}$ .

The smaller of these is $\dfrac{50}{99}$ , so every $m$ with $\dfrac12\lt m\lt\dfrac{50}{99}$ avoids such lattice points, and this upper endpoint is best possible.

Thus, B is the correct answer.

2011 AMC 10B 第 24 题

答案：B

难度评级：2350

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题