Question

设 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $\ldots$ 是满足以下性质的数列： $a_1 = 1$ ，且对任意正整数 $n$ ，有 $a_{2n} = n \cdot a_n$ 。 $a_{2^{100}}$ 的值是多少？

Let $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ be a sequence with the following properties: $a_1 = 1,$ and $a_{2n} = n \cdot a_n$ for any positive integer $n.$ What is the value of $a_{2^{100}}?$

$1$

$2^{99}$

$2^{100}$

$2^{4950}$

$2^{9999}$

答案：D

知识点：递推三角形数找规律

难度评级：2010

小提示：

计算 $a_{2^1}$ 、 $a_{2^2}$ 、 $a_{2^3}$ 、 $a_{2^4}$ ，并跟踪 $2$ 的指数。

Compute $a_{2^1},$ $a_{2^2},$ $a_{2^3},$ $a_{2^4}$ and track the exponent of $2$

大提示：

指数为 $0$ 、 $1$ 、 $1 + 2$ 、 $1 + 2 + 3$ 、 $\ldots$ 。

The exponents are $0,$ $1,$ $1 + 2,$ $1 + 2 + 3,$ $\ldots$

解答：

反复使用递推式，得到 $\begin{aligned} a_{2^1} &= 2^0, \\ a_{2^2} &= 2^1, \\ a_{2^3} &= 2^{1+2}, \\ a_{2^4} &= 2^{1+2+3}, \ldots \end{aligned}$ 因此一般地， $a_{2^n} = 2^{1 + 2 + \cdots + (n - 1)} = 2^{\frac{n(n-1)}{2}}$ 。

当 $n = 100$ 时，指数为 $\dfrac{100 \cdot 99}{2} = 4950$ ，所以 $a_{2^{100}} = 2^{4950}$ 。

所以正确答案是 D。

Applying the rule repeatedly, $\begin{aligned} a_{2^1} &= 2^0, \\ a_{2^2} &= 2^1, \\ a_{2^3} &= 2^{1+2}, \\ a_{2^4} &= 2^{1+2+3}, \ldots \end{aligned}$ so in general $a_{2^n} = 2^{1 + 2 + \cdots + (n - 1)} = 2^{\frac{n(n-1)}{2}}.$

For $n = 100,$ the exponent is $\dfrac{100 \cdot 99}{2} = 4950,$ so $a_{2^{100}} = 2^{4950}.$

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 10A 第 24 题

答案：D

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

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