Question

令 $k = 2008^2 + 2^{2008}$ 。 $k^2 + 2^k$ 的个位数字是多少？

Let $k = 2008^2 + 2^{2008}.$ What is the units digit of $k^2 + 2^k?$

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

先求 $k$ 的个位数字。

Find the units digit of $k$ first

$2^{2008}$ 个位为 $6$ ， $2008^2$ 个位为 $4$ ；再求 $k \bmod 4$ 来处理 $2^k$ 。

$2^{2008}$ ends in $6$ and $2008^2$ ends in $4;$ then determine $k \bmod 4$ to handle $2^k$

$2^n$ 的个位数字按 $2, 4, 8, 6$ 循环，所以 $2^{2008}$ 个位为 $6$ 。另外 $2008^2$ 的个位为 $4$ 。

因此 $k$ 的个位为 $0$ ，所以 $k^2$ 的个位为 $0$ 。

又因为 $2008^2$ 和 $2^{2008}$ 都是 $4$ 的倍数，所以 $k \equiv 0 \pmod 4$ ，从而 $2^k$ 的个位为 $6$ 。

所以 $k^2 + 2^k$ 的个位数字为 $0 + 6 = 6$ 。

所以正确答案是 D。

The units digit of $2^n$ cycles $2, 4, 8, 6,$ so $2^{2008}$ ends in $6.$ Also $2008^2$ ends in $4.$

Thus $k$ ends in $0,$ so $k^2$ ends in $0.$

Both $2008^2$ and $2^{2008}$ are multiples of $4,$ so $k \equiv 0 \pmod 4,$ which makes $2^k$ end in $6.$

The units digit of $k^2 + 2^k$ is $0 + 6 = 6.$

Thus, the correct answer is D.