Question

设 $p$ 、 $q$ 和 $r$ 是多项式 $x^3 - 22x^2 + 80x - 67$ 的三个不同的根。存在实数 $A$ 、 $B$ 和 $C$ ，使得 $\begin{gathered} \frac{1}{s^3-22s^2+80s-67}\\ =\frac{A}{s-p}+\frac{B}{s-q}\\ \quad+\frac{C}{s-r} \end{gathered}$ 对每个满足 $s\notin\{p,q,r\}$ 的实数 $s$ 都成立。求下式的值： $\dfrac1A+\dfrac1B+\dfrac1C\text{。}$

Let $p,$ $q,$ and $r$ be the distinct roots of the polynomial $x^3 - 22x^2 + 80x - 67.$ There exist real numbers $A,$ $B,$ and $C$ such that $\begin{gathered} \frac{1}{s^3-22s^2+80s-67}\\ =\frac{A}{s-p}+\frac{B}{s-q}\\ \quad+\frac{C}{s-r} \end{gathered}$ for all real numbers $s$ with $s\notin\{p,q,r\}.$ What is $\dfrac1A+\dfrac1B+\dfrac1C?$

$243$

$244$

$245$

$246$

$247$

答案：B

知识点：部分分式韦达定理

难度评级：2390

小提示：

乘以 $(s-p)(s-q)(s-r)$ 。

Multiply by $(s-p)(s-q)(s-r)$

大提示：

代入每个根，再使用韦达定理。

Substitute each root, then use Vieta’s formulas

解答：

等式两边同乘 $(s-p)(s-q)(s-r)$ ，得到 $\begin{aligned} 1={}&A(s-q)(s-r)\\ &+B(s-p)(s-r)\\ &+C(s-p)(s-q) \end{aligned}\text{。}$ 依次令 $s=p,q,r$ ，得到 $\begin{aligned} \frac1A&=(p-q)(p-r),\\ \frac1B&=(q-p)(q-r),\\ \frac1C&=(r-p)(r-q) \end{aligned}\text{。}$

三式相加并展开，得到 $\begin{aligned} \frac1A+\frac1B+\frac1C &=p^2+q^2+r^2\\ &\quad-pq-pr-qr \end{aligned}\text{。}$ 由韦达定理， $p+q+r=22$ ， $pq+pr+qr=80$ ，所以 $\begin{aligned} p^2+q^2+r^2&=22^2-2(80)\\ &=324 \end{aligned}\text{。}$ 因此所求的值为 $324-80=244$ 。

所以正确答案是 B。

Multiplying the identity by $(s-p)(s-q)(s-r)$ gives $\begin{aligned} 1={}&A(s-q)(s-r)\\ &+B(s-p)(s-r)\\ &+C(s-p)(s-q). \end{aligned}$ Setting $s=p,q,r$ , in turn, yields $\begin{aligned} \frac1A&=(p-q)(p-r),\\ \frac1B&=(q-p)(q-r),\\ \frac1C&=(r-p)(r-q). \end{aligned}$

Adding and expanding gives $\begin{aligned} \frac1A+\frac1B+\frac1C &=p^2+q^2+r^2\\ &\quad-pq-pr-qr. \end{aligned}$ By Vieta’s formulas, $p+q+r=22$ and $pq+pr+qr=80$ , so $\begin{aligned} p^2+q^2+r^2&=22^2-2(80)\\ &=324. \end{aligned}$ Therefore the requested value is $324-80=244.$

Thus, B is the correct answer.

2019 AMC 10A 第 24 题

答案：B

难度评级：2390

小提示：

大提示：

解答：

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