Question

设 $ABCDEF$ 是边长为 $1$ 的正六边形。令 $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ 分别为边 $AB$ 、 $CD$ 、 $EF$ 的中点。某个凸六边形的内部恰好是 $\triangle ACE$ 与 $\triangle XYZ$ 的内部交集。这个凸六边形的面积是多少？

Let $ABCDEF$ be a regular hexagon with side length $1.$ Denote by $X,$ $Y,$ and $Z$ the midpoints of sides $AB,$ $CD,$ and $EF,$ respectively. What is the area of the convex hexagon whose interior is the intersection of the interiors of $\triangle ACE$ and $\triangle XYZ?$

$\dfrac{3}{8}\sqrt{3}$

$\dfrac{7}{16}\sqrt{3}$

$\dfrac{15}{32}\sqrt{3}$

$\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$\dfrac{9}{16}\sqrt{3}$

答案：C

知识点：正多边形等边三角形面积分割

难度评级：2470

小提示：

$\triangle ACE$ 是边长为 $\sqrt{3}$ 的等边三角形； $\triangle XYZ$ 是边长为 $\tfrac{3}{2}$ 的等边三角形。

$\triangle ACE$ is equilateral with side $\sqrt{3};$ $\triangle XYZ$ is equilateral with side $\tfrac{3}{2}$

大提示：

以正六边形的中心为公共中心，这两个三角形同心且相差 $30^\circ$ ；交集是 $\triangle XYZ$ 去掉三个伸出的角三角形。

Centered at the hexagon’s center the two triangles are concentric and rotated $30^\circ;$ the overlap is $\triangle XYZ$ minus its three protruding corner triangles

解答：

三角形 $XYZ$ 是边长为 $\frac{3}{2}$ 的等边三角形，所以面积为 $\dfrac{\sqrt3}{4}\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac{9\sqrt3}{16}\text{。}$

三角形 $ACE$ 和 $XYZ$ 同心，且彼此旋转 $30^\circ$ 。在 $XYZ$ 的每个顶点处， $ACE$ 的两边截出一个 $30$ - $60$ - $90$ 三角形，其斜边是半边长线段 $AX=\frac{1}{2}$ 。两条直角边分别为 $\frac{1}{4}$ 和 $\frac{\sqrt3}{4}$ ，所以每个角的面积为 $\frac{\sqrt3}{32}$ 。

去掉三个角后，面积为 $\dfrac{9\sqrt3}{16}-3\cdot\dfrac{\sqrt3}{32}=\dfrac{15\sqrt3}{32}\text{。}$ 因此答案是 C。

The triangle $XYZ$ is equilateral with side $\frac{3}{2},$ so its area is $\dfrac{\sqrt3}{4}\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac{9\sqrt3}{16}.$

The triangles $ACE$ and $XYZ$ are concentric and rotated $30^\circ$ from each other. At each vertex of $XYZ,$ the sides of $ACE$ cut off a $30$ - $60$ - $90$ triangle whose hypotenuse is the half-side segment $AX=\frac{1}{2}.$ Its legs are $\frac{1}{4}$ and $\frac{\sqrt3}{4},$ so each corner has area $\frac{\sqrt3}{32}.$

Removing the three corners gives $\dfrac{9\sqrt3}{16}-3\cdot\dfrac{\sqrt3}{32}=\dfrac{15\sqrt3}{32}.$ Therefore, the answer is C.

2018 AMC 10B 第 24 题

答案：C

难度评级：2470

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题