Question

一个等差数列的前四项依次为 $x+y$ 、 $x-y$ 、 $xy$ 、 $\frac{x}{y}$ 。第五项是多少？

The first four terms in an arithmetic sequence are $x+y,$ $x-y,$ $xy,$ and $\frac{x}{y},$ in that order. What is the fifth term?

$-\dfrac{15}{8}$

$-\dfrac{6}{5}$

$0$

$\dfrac{27}{20}$

$\dfrac{123}{40}$

公差为 $(x-y)-(x+y)=-2y$ 。

The common difference is $(x-y)-(x+y)=-2y$

因此第三项和第四项应为 $x-3y$ 与 $x-5y$ ；令它们分别等于 $xy$ 和 $\frac{x}{y}$ 。

So the third and fourth terms are $x-3y$ and $x-5y;$ set these equal to $xy$ and $\frac{x}{y}$

公差为 $-2y$ ，所以第三项和第四项应为 $x-3y$ 和 $x-5y$ 。因此 $xy=x-3y$ 且 $\dfrac{x}{y}=x-5y$ 。

因此由 $\dfrac{x}{y}=x-5y$ 得 $x=xy-5y^2$ ，再用 $xy=x-3y$ 得 $-3y-5y^2=0$ 。因为 $y\ne 0$ ，所以 $y=-\dfrac35$ ，进而 $x=-\dfrac98$ 。

第五项为 $x-7y=-\dfrac98 + \dfrac{21}{5}=\dfrac{123}{40}$ 。

所以正确答案是 E。

The common difference is $-2y,$ so the third and fourth terms must be $x-3y$ and $x-5y.$ Thus $xy=x-3y$ and $\dfrac{x}{y}=x-5y.$

From $\dfrac{x}{y}=x-5y$ we get $x=xy-5y^2,$ and substituting $xy=x-3y$ gives $-3y-5y^2=0.$ Since $y\ne 0,$ $y=-\dfrac35$ and then $x=-\dfrac98.$

The fifth term is $x-7y=-\dfrac98 + \dfrac{21}{5}=\dfrac{123}{40}.$

Thus, the correct answer is E.