Question

四边形 $ABCD$ 满足 $AB=BC=CD$ 、 $\angle ABC=70^\circ$ 、 $\angle BCD=170^\circ$ 。 $\angle BAD$ 的度数是多少？

Quadrilateral $ABCD$ has $AB=BC=CD,$ $\angle ABC=70^\circ,$ and $\angle BCD=170^\circ.$ What is the degree measure of $\angle BAD?$

$75$

$80$

$85$

$90$

$95$

答案：C

知识点：导角等腰三角形等边三角形

难度评级：1860

小提示：

在 $BC$ 与 $A$ 同侧构造等边三角形 $BMC$ 。

Build an equilateral triangle $BMC$ on the same side of $BC$ as $A$

大提示：

证明 $\triangle ABM$ 和 $\triangle MCD$ 是等腰三角形，再证明 $M$ 在 $\overline{AD}$ 上。

Show $\triangle ABM$ and $\triangle MCD$ are isosceles, then prove $M$ lies on $\overline{AD}$

解答：

令 $M$ 为使 $\triangle BMC$ 为等边三角形的点，且与 $A$ 在 $BC$ 的同侧。于是 $\angle ABM=70^\circ-60^\circ=10^\circ$ ，且 $\angle MCD=170^\circ-60^\circ=110^\circ$ 。

因为 $AB=BM$ 且 $MC=CD$ ，三角形 $ABM$ 和 $MCD$ 是等腰三角形，所以 $\angle AMB=85^\circ$ ，且 $\angle CMD=35^\circ$ 。

于是 $\angle AMD=360^\circ-85^\circ-60^\circ$ $-35^\circ$ $=180^\circ$ ，所以 $M$ 在 $\overline{AD}$ 上，且 $\angle BAD=\angle BAM=85^\circ$ 。

所以正确答案是 C。

Let $M$ be the point with $\triangle BMC$ equilateral, on the same side of $BC$ as $A.$ Then $\angle ABM=70^\circ-60^\circ=10^\circ$ and $\angle MCD=170^\circ-60^\circ=110^\circ.$

Since $AB=BM$ and $MC=CD,$ triangles $ABM$ and $MCD$ are isosceles, giving $\angle AMB=85^\circ$ and $\angle CMD=35^\circ.$

Then $\angle AMD=360^\circ-85^\circ-60^\circ$ $-35^\circ$ $=180^\circ,$ so $M$ lies on $\overline{AD}$ and $\angle BAD=\angle BAM=85^\circ.$

Thus, the correct answer is C.

2008 AMC 10B 第 24 题

答案：C

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题