Question

一个四边形内接于半径为 $200\sqrt{2}$ 的圆。该四边形的三条边长为 $200$ 。第四条边长是多少？

A quadrilateral is inscribed in a circle of radius $200\sqrt{2}.$ Three of the sides of this quadrilateral have length $200.$ What is the length of the fourth side?

$200$

$200\sqrt{2}$

$200\sqrt{3}$

$300\sqrt{2}$

$500$

答案：E

知识点：圆内接四边形弦 triple-angle identity

难度评级：2300

小提示：

等长弦对应相等圆心角。

Equal chords give equal central angles

大提示：

若一条长为 $200$ 的弦所对的圆心角为 $2\theta$ ，就使用弦长公式和 $\sin(3\theta)$ 。

If a $200$ -unit chord subtends angle $2\theta$ , use the chord formula and $\sin(3\theta)$

解答：

把这个四边形记作 $ABCD$ ，其中 $AB=BC=CD=200$ 。设这三条等长弦各自所对的圆心角都是 $2\theta$ 。由弦长公式得 $200=2(200\sqrt2)\sin\theta\text{，}$ 所以 $\sin\theta=\frac{1}{2\sqrt2}$ 。特别地， $\theta<30^\circ$ ，因此 $AD$ 所对的较小圆心角是 $6\theta<180^\circ$ 。

于是再用一次弦长公式，得到 $AD=2(200\sqrt2)\sin(3\theta)\text{。}$ 再利用 $\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ ，我们求得 $\begin{aligned} \sin(3\theta) &=\frac{3}{2\sqrt2}-\frac{1}{4\sqrt2} \\ &=\frac{5}{4\sqrt2} \end{aligned}\text{。}$

因此 $AD=400\sqrt2\cdot\frac{5}{4\sqrt2}=500\text{。}$

所以正确答案是 E。

Label the quadrilateral $ABCD$ , with $AB=BC=CD=200$ . Let each of these equal chords subtend central angle $2\theta$ . The chord formula gives $200=2(200\sqrt2)\sin\theta,$ so $\sin\theta=\frac{1}{2\sqrt2}$ . In particular, $\theta<30^\circ$ , so the smaller central angle subtended by $AD$ is $6\theta<180^\circ$ .

Therefore another use of the chord formula gives $AD=2(200\sqrt2)\sin(3\theta).$ Using $\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ , we obtain $\begin{aligned} \sin(3\theta) &=\frac{3}{2\sqrt2}-\frac{1}{4\sqrt2} \\ &=\frac{5}{4\sqrt2}. \end{aligned}$

Hence $AD=400\sqrt2\cdot\frac{5}{4\sqrt2}=500.$

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 10A 第 24 题

答案：E

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题