Question

令 $n$ 表示最小的正整数，它能同时被 $4$ 和 $9$ 整除，且 $10$ 进制表示只由数字 $4$ 和 $9$ 组成，并且两种数字至少各出现一次。 $n$ 的最后四位数字是什么？

Let $n$ denote the smallest positive integer that is divisible by both $4$ and $9,$ and whose base- $10$ representation consists of only $4$ ’s and $9$ ’s, with at least one of each. What are the last four digits of $n?$

$4444$

$4494$

$4944$

$9444$

$9944$

答案：C

知识点：整除性数字最优化

难度评级：1980

小提示：

被 $9$ 整除限制数字和；被 $4$ 整除限制最后两位。

Divisibility by $9$ constrains the digit sum; divisibility by $4$ constrains the last two digits

大提示：

数字和迫使至少有九个 $4$ ，且最后两位必须都是 $4$ 。

The digit sum forces at least nine $4$ ’s, and the last two digits must both be $4$

解答：

因为 $n$ 能被 $9$ 整除，其数字和是 $9$ 的倍数。若四这个数字出现 $k$ 次，九这个数字出现 $m$ 次，则数字和为 $4k+9m$ ，所以 $4k$ 能被 $9$ 整除，迫使 $k$ 也能被 $9$ 整除。因此 $k\ge 9$ ，并且至少有一个 $9$ ，这个数至少有十位。

要被 $4$ 整除，最后两位必须组成 $4$ 的倍数。在 $44$ 、 $49$ 、 $94$ 、 $99$ 中，只有 $44$ 可行，所以 $n$ 以 $44$ 结尾。

最小的这样十位数把唯一的 $9$ 放在最低的可用数位上，得到 $4{,}444{,}444{,}944$ ，最后四位是 $4944$ 。

所以正确答案是 C。

Since $n$ is divisible by $9,$ its digit sum is a multiple of $9.$ With $k$ fours and $m$ nines, the digit sum is $4k+9m,$ so $4k$ is divisible by $9,$ forcing $k$ to be divisible by $9.$ Thus $k\ge 9,$ and with at least one $9,$ the number has at least ten digits.

For divisibility by $4,$ the last two digits must form a multiple of $4,$ and among $44,$ $49,$ $94,$ and $99$ only $44$ works, so $n$ ends in $44.$

The smallest such ten-digit number places the single $9$ in the lowest available position, giving $4{,}444{,}444{,}944.$ Its last four digits are $4944.$

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 10B 第 24 题

答案：C

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

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