Question

有多少对正整数 $(a,b)$ 满足： $a$ 和 $b$ 没有大于 $1$ 的公因数，并且

$\frac{a}{b}+\frac{14b}{9a}$

是整数？

How many pairs of positive integers $(a,b)$ are there such that $a$ and $b$ have no common factors greater than $1$ and

$\frac{a}{b}+\frac{14b}{9a}$

is an integer?

$4$

$6$

$9$

$12$

无穷多

infinitely many

答案：A

知识点：整除性最大公约数丢番图方程

难度评级：2170

小提示：

合并成一个分式 $\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}$ ，并使用 $\gcd(a,b)=1$ 。

Combine into the single fraction $\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}$ and use $\gcd(a,b)=1$

大提示：

推出 $14$ 能被 $a$ 整除，且 $9$ 能被 $b$ 整除，再测试有限个数对。

Deduce that $14$ is divisible by $a$ and $9$ is divisible by $b,$ then test the finitely many pairs

解答：

合并后，表达式为 $\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}$ 。若它是整数，则 $a$ 必须整除 $9a^2+14b^2$ ，因此 $14b^2$ 能被 $a$ 整除。由于 $\gcd(a,b)=1$ ，得 $14$ 能被 $a$ 整除。同理 $9a^2$ 能被 $b$ 整除，所以 $9$ 能被 $b$ 整除。

所以 $a\in\{1,2,7,14\}$ ， $b\in\{1,3,9\}$ 。检查这些情况，只有 $b=3$ 时对每个允许的 $a$ 都得到整数。

有效数对为 $(1,3)$ 、 $(2,3)$ 、 $(7,3)$ 、 $(14,3)$ ，共 $4$ 对。

所以正确答案是 A。

Combining, the expression is $\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}.$ For this to be an integer, $a$ must divide $9a^2+14b^2,$ hence $14b^2$ is divisible by $a.$ Since $\gcd(a,b)=1,$ we get that $14$ is divisible by $a.$ Similarly, $9a^2$ is divisible by $b,$ so $9$ is divisible by $b.$

So $a\in\{1,2,7,14\}$ and $b\in\{1,3,9\}.$ Checking these, only $b=3$ makes the expression an integer for each allowed $a.$

The valid pairs are $(1,3),$ $(2,3),$ $(7,3),$ and $(14,3),$ for a total of $4.$

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 10B 第 25 题

答案：A

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题