Question

一个半径为 $1$ 的圆在点 $A$ 和 $B$ 处分别与两个半径为 $2$ 的圆内切，其中 $AB$ 是小圆的一条直径。求图中阴影区域面积，该区域位于小圆外部且在两个大圆内部。

A circle of radius $1$ is internally tangent to two circles of radius $2$ at points $A$ and $B,$ where $AB$ is a diameter of the smaller circle. What is the area of the region, shaded in the figure, that is outside the smaller circle and inside each of the two larger circles?

$\dfrac{5}{3}\pi - 3\sqrt{2}$

$\dfrac{5}{3}\pi - 2\sqrt{3}$

$\dfrac{8}{3}\pi - 3\sqrt{3}$

$\dfrac{8}{3}\pi - 3\sqrt{2}$

$\dfrac{8}{3}\pi - 2\sqrt{3}$

答案：B

知识点：扇形面积分割特殊直角三角形对称性

难度评级：2270

小提示：

由对称性，阴影区域可以分成四个全等部分；先求其中四分之一。

By symmetry the shaded region splits into four congruent pieces; compute one quarter

大提示：

一个四分之一部分等于大圆的 $60^\circ$ 扇形减去一个直角三角形，再减去小圆的四分之一。

One quarter is a $60^\circ$ sector of a large circle minus a right triangle minus a quarter of the small circle

解答：

设两个大圆圆心为 $A$ 和 $B$ ，小圆圆心为 $C$ ，两个大圆的一个交点为 $D$ 。

则 $\triangle ACD$ 是直角三角形，且 $AC = 1$ 、 $AD = 2$ ，所以 $CD = \sqrt3$ 、 $\angle CAD = 60^\circ$ ，其面积为 $\dfrac{\sqrt3}{2}$ 。

阴影区域的四分之一等于半径为 $2$ 的大圆中一个 $60^\circ$ 扇形面积 $\dfrac{2\pi}{3}$ ，减去 $\triangle ACD$ 的面积 $\dfrac{\sqrt3}{2}$ ，再减去小圆四分之一的面积 $\dfrac{\pi}{4}$ ，得到 $\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\sqrt3}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{12} - \dfrac{\sqrt3}{2}$ 。

乘以 $4$ ，阴影总面积为 $\dfrac{5\pi}{3} - 2\sqrt3$ 。

所以正确答案是 B。

Let the large circles have centers $A$ and $B,$ let $C$ be the center of the small circle, and let $D$ be a point where the two large circles meet.

Then $\triangle ACD$ is right with $AC = 1$ and $AD = 2,$ so $CD = \sqrt3,$ $\angle CAD = 60^\circ,$ and its area is $\dfrac{\sqrt3}{2}.$

One quarter of the shaded region equals the $60^\circ$ sector of the radius- $2$ circle (area $\dfrac{2\pi}{3}$ ) minus $\triangle ACD$ (area $\dfrac{\sqrt3}{2}$ ) minus a quarter of the small circle (area $\dfrac{\pi}{4}$ ), giving $\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\sqrt3}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{12} - \dfrac{\sqrt3}{2}.$

Multiplying by $4,$ the shaded area is $\dfrac{5\pi}{3} - 2\sqrt3.$

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 10B 第 25 题

答案：B

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题