Question

设 $S$ 是坐标平面中的格点集合，其中两个坐标都是从 $1$ 到 $30$ 的整数。恰有 $300$ 个 $S$ 中的点位于直线 $y=mx$ 上或其下方。所有可能的 $m$ 值构成一个长度为 $\frac ab$ 的区间，其中 $a$ 与 $b$ 是互质正整数。 $a+b$ 等于多少？

Let $S$ be the set of lattice points in the coordinate plane, both of whose coordinates are integers between $1$ and $30,$ inclusive. Exactly $300$ points in $S$ lie on or below a line with equation $y=mx.$ The possible values of $m$ lie in an interval of length $\frac ab,$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. What is $a+b?$

$31$

$47$

$62$

$72$

$85$

答案：E

知识点：格点取整函数

难度评级：2390

小提示：

在相关的斜率附近，点数为 $\sum_{x=1}^{30}\lfloor mx\rfloor$ 。

Near the relevant slopes, the number of points is $\sum_{x=1}^{30}\lfloor mx\rfloor$

大提示：

找到第 $300$ 个格点比值对应的斜率，以及下一个更大的可能比值。

Find the slope where the $300$ th lattice-point ratio occurs and the next larger possible ratio

解答：

对固定斜率 $m$ ，集合 $S$ 中位于 $y=mx$ 上或下方的点数为

$\sum_{x=1}^{30}\lfloor mx\rfloor\text{，}$

这适用于答案附近的斜率。

当 $m=\frac23$ 时，把 $x=3k+1,3k+2,3k+3$ 分组，其中 $k=0,1,\ldots,9$ 。于是

$\lfloor \frac{2x}{3}\rfloor=2k,\ 2k+1, \ 2k+2\text{，}$

每个区块上的和为 $6k+3$ 。因此总数为

$\sum_{k=0}^9(6k+3)=270+30=300\text{。}$

若 $m<\frac23$ ，十个比值 $\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$ 的点不再被计入，所以点数小于 $300$ 。因此区间下端为 $\frac23$ 。

下一个大于 $\frac23$ 的可能比值 $\frac{y}{x}$ ，在 $1\le x,y\le30$ 下可按 $x$ 模 $3$ 检查。最佳候选为

$\frac{19}{28},\qquad \frac{20}{29},\qquad \frac{21}{30}=\frac{7}{10}\text{，}$

其中最小的是 $\frac{19}{28}$ 。因此区间长度为

$\frac{19}{28}-\frac23=\frac1{84}\text{。}$

所以 $a+b=1+84=85$ 。

所以答案是 E。

For a fixed slope $m,$ the number of points in $S$ on or below $y=mx$ is

$\sum_{x=1}^{30}\lfloor mx\rfloor,$

for the slopes near the answer.

At $m=\frac23,$ grouping $x=3k+1,3k+2,3k+3$ for $k=0,1,\ldots,9$ gives

$\lfloor \frac{2x}{3}\rfloor=2k,\ 2k+1, \ 2k+2,$

whose sum over each block is $6k+3.$ Thus the total is

$\sum_{k=0}^9(6k+3)=270+30=300.$

If $m<\frac23,$ the ten points with ratios $\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$ are no longer counted, so the count is less than $300.$ Therefore the lower end is $\frac23.$

The next possible ratio $\frac{y}{x}$ greater than $\frac23,$ with $1\le x,y\le30,$ is minimized by checking $x$ modulo $3.$ The best candidates are

$\frac{19}{28},\qquad \frac{20}{29},\qquad \frac{21}{30}=\frac{7}{10},$

and the smallest is $\frac{19}{28}.$ Hence the interval length is

$\frac{19}{28}-\frac23=\frac1{84}.$

Thus $a+b=1+84=85.$

Thus, the answer is E .

2021 AMC 10B Spring 第 25 题

答案：E

难度评级：2390

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题