Question

不超过 $2001$ 的正整数中，有多少个是 $3$ 或 $4$ 的倍数，但不是 $5$ 的倍数？

How many positive integers not exceeding $2001$ are multiples of $3$ or $4$ but not $5?$

$768$

$801$

$934$

$1067$

$1167$

答案：B

知识点：容斥原理区间内整数计数倍数

难度评级：1530

小提示：

先数 $3$ 或 $4$ 的倍数，再去掉其中也是 $5$ 的倍数的数。

Count the multiples of $3$ or $4,$ then remove those that are also multiples of $5$

大提示：

对 $3$ 、 $4$ 、 $12$ 使用容斥，再对 $15$ 、 $20$ 、 $60$ 使用容斥。

Use inclusion-exclusion with multiples of $3,$ $4,$ $12$ and then $15,$ $20,$ $60$

解答：

不超过 $2001$ 的 $3$ 或 $4$ 的倍数共有 $\left\lfloor\tfrac{2001}{3}\right\rfloor$ $+\left\lfloor\tfrac{2001}{4}\right\rfloor$ $-\left\lfloor\tfrac{2001}{12}\right\rfloor$ $=667+500-166$ $=1001$ 。

其中是 $5$ 的倍数者，也就是 $15$ 或 $20$ 的倍数，共有 $133$ 加 $100$ 个，但要减去重复计算的 $60$ 的倍数，共 $33$ 个，因此共有 $133+100-33=200$ 个。

所以所求个数为 $1001-200=801$ 。正确答案是 B。

Multiples of $3$ or $4$ up to $2001:$ $\left\lfloor\tfrac{2001}{3}\right\rfloor$ $+\left\lfloor\tfrac{2001}{4}\right\rfloor$ $-\left\lfloor\tfrac{2001}{12}\right\rfloor$ $=667+500-166$ $=1001.$

Among these, remove the multiples of $5:$ there are $133$ multiples of $15$ and $100$ multiples of $20,$ re-adding the $33$ multiples of $60:$ $133+100-33=200.$

So the count is $1001-200=801.$ Thus, the correct answer is B.

2001 AMC 10 第 25 题

答案：B

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题