Question

令 $f(x)=\sum_{k=2}^{10}(\lfloor kx \rfloor -k \lfloor x \rfloor)\text{，}$ 其中 $\lfloor r \rfloor$ 表示小于或等于 $r$ 的最大整数。当 $x \ge 0$ 时， $f(x)$ 会取到多少个不同的值？

Let $f(x)=\sum_{k=2}^{10}(\lfloor kx \rfloor -k \lfloor x \rfloor),$ where $\lfloor r \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $r.$ How many distinct values does $f(x)$ assume for $x \ge 0?$

$\ 32$

$\ 36$

$\ 45$

$\ 46$

$\ \text{无穷多个}$

$\ \text{infinitely many}$

答案：A

知识点：取整函数欧拉函数

难度评级：2440

小提示：

只有 $x$ 的小数部分会影响函数值。

Only the fractional part of $x$ matters

大提示：

数出 $2\le k\le10$ 时不同的断点 $\frac{i}{k}$ 。

Count distinct breakpoints $\frac{i}{k}$ for $2\le k\le10$

解答：

写 $x=\lfloor x\rfloor+t$ ，其中 $0\le t\lt1$ 。则 $\lfloor kx\rfloor-k\lfloor x\rfloor=\lfloor kt\rfloor\text{，}$ 所以 $f(x)$ 只取决于小数部分 $t$ 。

$f$ 的值只会在 $t$ 跨过某个分数 $\frac{i}{k}$ 时改变，其中 $2\le k\le10$ ， $1\le i\lt k$ 。在 $(0,1)$ 内这些不同分数的个数是 $\begin{aligned} &\varphi(2)+\varphi(3) \\ &\quad {}+\cdots+\varphi(10) \\ &=1+2+2+4+2 \\ &\quad {}+6+4+6+4 \\ &=31 \end{aligned}\text{。}$

加上第一个断点之前的初始取值， $f$ 共有 $31+1=32$ 个不同的值。

所以正确答案是 A。

Write $x=\lfloor x\rfloor+t$ , where $0\le t\lt1$ . Then $\lfloor kx\rfloor-k\lfloor x\rfloor=\lfloor kt\rfloor,$ so $f(x)$ depends only on the fractional part $t$ .

The value of $f$ changes only when $t$ crosses a fraction $\frac{i}{k}$ , where $2\le k\le10$ and $1\le i\lt k$ . The number of distinct such fractions in $(0,1)$ is $\begin{aligned} &\varphi(2)+\varphi(3) \\ &\quad {}+\cdots+\varphi(10) \\ &=1+2+2+4+2 \\ &\quad {}+6+4+6+4 \\ &=31. \end{aligned}$

Including the initial value before the first breakpoint, $f$ assumes $31+1=32$ distinct values.

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 10B 第 25 题

答案：A

难度评级：2440

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题