Question

设 $T_1$ 是边长为 $2011$ 、 $2012$ 和 $2013$ 的三角形。对 $n \ge 1$ ，若 $T_n = \triangle ABC$ ，且 $D$ 、 $E$ 和 $F$ 分别是 $\triangle ABC$ 的内切圆与边 $AB$ 、 $BC$ 和 $AC$ 的切点，则若存在， $T_{n+1}$ 是边长为 $AD$ 、 $BE$ 和 $CF$ 的三角形。数列 $( T_n )$ 中最后一个三角形的周长是多少？

Let $T_1$ be a triangle with side lengths $2011,$ $2012,$ and $2013.$ For $n \ge 1,$ if $T_n = \triangle ABC$ and $D,$ $E,$ and $F$ are the points of tangency of the incircle of $\triangle ABC$ to the sides $AB,$ $BC,$ and $AC,$ respectively, then $T_{n+1}$ is a triangle with side lengths $AD,$ $BE,$ and $CF,$ if it exists. What is the perimeter of the last triangle in the sequence $( T_n )?$

$\dfrac{1509}{8}$

$\dfrac{1509}{32}$

$\dfrac{1509}{64}$

$\dfrac{1509}{128}$

$\dfrac{1509}{256}$

答案：D

知识点：内切圆、内心与内切圆半径递推三角不等式

难度评级：2490

小提示：

从同一顶点引出的切线段相等。

Tangent lengths from the same vertex are equal

大提示：

对边长 $s-1,s,s+1$ ，下一个三角形的中间边为 $\frac{s}{2}$ 。

For side lengths $s-1,s,s+1$ , the next middle side is $\frac{s}{2}$

解答：

对边长 $a=BC$ 、 $b=CA$ 、 $c=AB$ 的三角形，同一顶点到内切圆的切线段相等，所以下一个三角形边长为 $\begin{gathered} \dfrac{b+c-a}{2}, \\ \quad \dfrac{a+c-b}{2}, \\ \quad \dfrac{a+b-c}{2} \end{gathered}\text{。}$

若当前边长为 $s-1,s,s+1$ ，则下一组边长为 $\dfrac{s}{2}-1,\dfrac{s}{2},\dfrac{s}{2}+1$ 。因此这种形式会一直保持，而中间边每次减半。

对 $T_n$ ，中间边为 $\frac{2012}{2^{n-1}}$ 。形如 $s-1,s,s+1$ 的三角形存在，当且仅当 $s>2$ 。

最后一个有效三角形满足 $\frac{2012}{2^{n-1}}>2$ ，但下一次不满足。此时 $n=10$ ，中间边为 $\frac{2012}{2^9}=\frac{503}{128}$ 。

周长为 $3\cdot\dfrac{503}{128}=\dfrac{1509}{128}$ 。

所以正确答案是 D。

For a triangle with side lengths $a=BC$ , $b=CA$ , and $c=AB$ , equal tangents from the same vertex give the next side lengths $\begin{gathered} \dfrac{b+c-a}{2}, \\ \quad \dfrac{a+c-b}{2}, \\ \quad \dfrac{a+b-c}{2}. \end{gathered}$

If the current side lengths are $s-1,s,s+1$ , then the next side lengths are $\dfrac{s}{2}-1,\dfrac{s}{2},\dfrac{s}{2}+1$ . Thus the same form persists while the middle side halves each time.

For $T_n$ , the middle side is $\frac{2012}{2^{n-1}}$ . A triangle of the form $s-1,s,s+1$ exists exactly when $s>2$ .

The last valid triangle has $\frac{2012}{2^{n-1}}>2$ , but the next one does not. This gives $n=10$ , with middle side $\frac{2012}{2^9}=\frac{503}{128}$ .

The perimeter is $3\cdot\dfrac{503}{128}=\dfrac{1509}{128}$ .

Thus, D is the correct answer.

2011 AMC 10B 第 25 题

答案：D

难度评级：2490

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题