Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AB = 7$ 、 $AC = 8$ 、 $BC = 9$ 。点 $D$ 在三角形的外接圆上，使得 $\overline{AD}$ 平分 $\angle BAC$ 。求 $\frac{AD}{CD}$ 。

In $\triangle ABC$ we have $AB = 7,$ $AC = 8,$ and $BC = 9.$ Point $D$ is on the circumscribed circle of the triangle so that $\overline{AD}$ bisects $\angle BAC.$ What is the value of $\frac{AD}{CD}?$

$\dfrac{9}{8}$

$\dfrac{5}{3}$

$2$

$\dfrac{17}{7}$

$\dfrac{5}{2}$

答案：B

知识点：圆周角相似角平分线定理

难度评级：2030

小提示：

设 $\overline{AD}$ 交 $\overline{BC}$ 于 $E$ ；圆周角定理给出 $\angle ABE = \angle ADC$ 。

Let $\overline{AD}$ meet $\overline{BC}$ at $E;$ inscribed angles give $\angle ABE = \angle ADC$

大提示：

三角形 $ABE$ 与三角形 $ADC$ 相似，所以 $\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BE}$ ；再由角平分线定理求 $BE$ 。

Triangles $ABE$ and $ADC$ are similar, so $\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BE};$ find $BE$ from the Angle Bisector Theorem

解答：

设 $\overline{AD}$ 交 $\overline{BC}$ 于 $E$ 。因为 $\angle ABC$ 与 $\angle ADC$ 截同弧，所以它们相等；又有 $\angle EAB = \angle CAD$ ，因此 $\triangle ABE \sim \triangle ADC$ 。

因此 $\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{AB}{BE}$ 。

由角平分线定理， $\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{AC}$ ，所以 $BE = \dfrac{AB \cdot BC}{AB + AC} = \dfrac{7 \cdot 9}{15}$ 。

因此 $\begin{aligned} \dfrac{AD}{CD} &= \dfrac{AB}{BE} = \dfrac{AB + AC}{BC} \\ &= \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 B。

Let $\overline{AD}$ meet $\overline{BC}$ at $E.$ Since $\angle ABC$ and $\angle ADC$ subtend the same arc, they are equal, and $\angle EAB = \angle CAD,$ so $\triangle ABE \sim \triangle ADC.$

Hence $\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{AB}{BE}.$

By the Angle Bisector Theorem, $\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{AC},$ so $BE = \dfrac{AB \cdot BC}{AB + AC} = \dfrac{7 \cdot 9}{15}.$

Therefore $\begin{aligned} \dfrac{AD}{CD} &= \dfrac{AB}{BE} = \dfrac{AB + AC}{BC} \\ &= \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 10B 第 24 题

答案：B

难度评级：2030

小提示：

大提示：

解答：

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