Question

由所有可表示为 $(2u - 3w,\ v + 4w)$ 的点组成的区域边界周长是多少？其中 $0 \le u \le 1$ 、 $0 \le v \le 1$ 、 $0 \le w \le 1$ 。

What is the perimeter of the boundary of the region consisting of all points which can be expressed as $(2u - 3w,\ v + 4w)$ with $0 \le u \le 1,$ $0 \le v \le 1,$ and $0 \le w \le 1?$

$10\sqrt{3}$

$13$

$12$

$18$

$16$

答案：E

知识点：坐标几何向量周长

难度评级：2470

小提示：

固定 $w$ 时， $(u, v)$ 扫出一个 $2 \times 1$ 的矩形；改变 $w$ 会沿 $(-3, 4)$ 平移它。

Fixing $w,$ the pair $(u, v)$ sweeps a $2 \times 1$ rectangle; varying $w$ slides it along $(-3, 4)$

大提示：

边界是一个六边形，其相对的边长分别为 $2, 1$ 和 $\sqrt{(-3)^2+4^2}$ 。

The boundary is a hexagon with opposite side lengths $2, 1,$ and $\sqrt{(-3)^2+4^2}$

解答：

固定 $w$ 。随着 $u, v$ 在 $[0, 1]^2$ 中变化，点 $(2u - 3w,\ v + 4w)$ 填满一个 $2 \times 1$ 的轴对齐矩形，其左下角为 $(-3w, 4w)$ 。当 $w$ 从 $0$ 到 $1$ 变化时，这个矩形沿向量 $(-3,4)$ 平移，该向量长度为 $5$ 。扫过的区域是一个中心对称的六边形。它的三组对边的长度分别为 $2, 1$ 和 $5$ ，分别来自矩形的两条边以及平移线段。因此它的周长为 $2(2+1+5)=16$ 。所以，答案是 E。

Fix $w.$ As $u, v$ sweep $[0, 1]^2,$ the point $(2u - 3w,\ v + 4w)$ fills a $2 \times 1$ axis-aligned rectangle with lower-left corner $(-3w, 4w).$ As $w$ runs from $0$ to $1,$ this rectangle slides along the vector $(-3,4),$ whose length is $5.$ The swept region is a centrally symmetric hexagon. Its opposite pairs of sides have lengths $2, 1,$ and $5,$ inherited from the two sides of the rectangle and the sliding segment. Therefore its perimeter is $2(2+1+5)=16.$ Therefore, the answer is E.

2023 AMC 10B 第 24 题

答案：E

难度评级：2470

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题