Question

三角形 $ABC$ 中， $AB=50$ ， $AC=10$ ，面积为 $120$ 。设 $D$ 是 $\overline{AB}$ 的中点， $E$ 是 $\overline{AC}$ 的中点。 $\angle BAC$ 的角平分线分别与 $\overline{DE}$ 和 $\overline{BC}$ 交于 $F$ 和 $G$ 。四边形 $FDBG$ 的面积是多少？

Triangle $ABC$ with $AB=50$ and $AC=10$ has area $120.$ Let $D$ be the midpoint of $\overline{AB},$ and let $E$ be the midpoint of $\overline{AC}.$ The angle bisector of $\angle BAC$ intersects $\overline{DE}$ and $\overline{BC}$ at $F$ and $G,$ respectively. What is the area of quadrilateral $FDBG?$

$60$

$65$

$70$

$75$

$80$

答案：D

知识点：角平分线定理中点梯形面积比

难度评级：2040

小提示：

用角平分线定理确定 $G$ 的位置。

Use the angle bisector theorem to locate $G$

大提示：

中位线 $DE$ 使梯形的高等于原三角形高的一半。

The midsegment $DE$ makes a similar half-height trapezoid

解答：

设 $BC = a, BG = x, GC = y$ ，并设过 $A$ 的高为 $h$ 。

由角平分线定理， $BG:GC=AB:AC=5:1$ ，所以 $BG=\dfrac{5a}{6}$ 。因为 $DE$ 是中位线， $DE=\dfrac a2$ 。在 $\triangle ADE$ 中再次应用该定理，得 $DF:FE=AD:AE=5:1$ ，所以 $DF=\dfrac56DE=\dfrac{5a}{12}$ 。

梯形的高为 $\frac{h}{2}$ ，且 $\frac{ah}{2}=120$ 。它的平均底长为 $\dfrac12\left(\dfrac{5a}{12}+\dfrac{5a}{6}\right)=\dfrac{5a}{8}$ 。因此面积为 $\dfrac{5a}{8}\cdot\dfrac h2=\dfrac58\cdot\dfrac{ah}{2}=75\text{。}$ 所以正确答案是 D。

Let $BC = a, BG = x, GC = y,$ and $h$ be the length of the altitude through $A.$

By the Angle Bisector Theorem, $BG:GC=AB:AC=5:1,$ so $BG=\dfrac{5a}{6}.$ Because $DE$ is a midsegment, $DE=\dfrac a2.$ Applying the same theorem in $\triangle ADE$ gives $DF:FE=AD:AE=5:1,$ so $DF=\dfrac56DE=\dfrac{5a}{12}.$

The trapezoid’s height is $\frac{h}{2},$ and $\frac{ah}{2}=120.$ Its average base length is $\dfrac12\left(\dfrac{5a}{12}+\dfrac{5a}{6}\right)=\dfrac{5a}{8}.$ Therefore, its area is $\dfrac{5a}{8}\cdot\dfrac h2=\dfrac58\cdot\dfrac{ah}{2}=75.$ Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 10A 第 24 题

答案：D

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题