Question

若一个正整数不重复使用任何数字，没有数字 $0$ ，并且没有任何数字同时与两个更大的数字相邻，则称它为公平数。例如， $23$ ， $196$ 和 $12463$ 是公平数，但 $1546$ ， $320$ 和 $34321$ 不是。共有多少个公平正整数？

Call a positive integer fair if no digit is used more than once, it has no $0$ s, and no digit is adjacent to two greater digits. For example, $23,$ $196,$ and $12463$ are fair, but $1546,$ $320,$ and $34321$ are not fair. How many fair positive integers are there?

$511$

$2{,}584$

$9{,}841$

$17{,}711$

$19{,}682$

答案：C

知识点：组合二项式定理

难度评级：2380

小提示：

一个公平数的数字会先递增到最大数字 $m$ ，然后再递减。

A fair number’s digits increase up to its largest digit $m$ and then decrease

大提示：

对于 $k$ 位数，先选择数字集合（ $\binom{9}{k}$ 种），再决定其余 $k-1$ 个较小数字中哪些放在 $m$ 左边（ $2^{k-1}$ 种）。

For $k$ digits, choose the digit set ( $\binom{9}{k}$ ) and decide which of the $k-1$ smaller digits go left of $m$ ( $2^{k-1}$ )

解答：

在一个公平数中，数字必须先上升到最大数字 $m$ ，再下降。事实上，任何一次下降之后的第一次上升，都会起始于一个比左右两个邻居都小的数字。对于 $k$ 位数，从 $1$ 到 $9$ 中选择数字集合，有 $\binom{9}{k}$ 种。比 $m$ 小的那 $k-1$ 个数字各自独立地放在递增的左侧或递减的右侧，之后它们的位置就被唯一确定。因此总数为 $\sum_{k=1}^{9}\binom{9}{k}2^{k-1}$ $= \tfrac12\big((1+2)^9-1\big)$ $= \tfrac{3^9-1}{2}$ $=9841$ 。因此正确答案是 C。

A fair number’s digits must increase up to its largest digit $m$ and then decrease. Indeed, the first ascent after any descent would begin at a digit smaller than both of its neighbors. For $k$ digits, choose the digit set from $1$ to $9$ in $\binom{9}{k}$ ways. Each of the $k-1$ digits below $m$ independently goes on the increasing left side or the decreasing right side, after which its position is forced. Hence the total is $\sum_{k=1}^{9}\binom{9}{k}2^{k-1}$ $= \tfrac12\big((1+2)^9-1\big)$ $= \tfrac{3^9-1}{2}$ $=9841.$ Therefore, the answer is C.

2025 AMC 10A 第 24 题

答案：C

难度评级：2380

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解答：

其他年份的第 24 题