Question

有多少个正整数 $n$ 满足下面的等式 $\dfrac{n+1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor\text{？}$

（这里 $\lfloor x\rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。）

How many positive integers $n$ satisfy $\dfrac{n+1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor?$

(Recall that $\lfloor x\rfloor$ is the greatest integer not exceeding $x.$ )

$2$

$4$

$6$

$30$

$32$

答案：C

知识点：取整函数二次方程不等式

难度评级：2250

小提示：

令 $k=\lfloor\sqrt n\rfloor$ ，则 $n=70k-1000$ 。

Let $k=\lfloor\sqrt n\rfloor,$ so $n=70k-1000$

大提示：

使用 $k^2\le n<(k+1)^2$ 来限制可能的整数 $k$ 。

Use $k^2\le n<(k+1)^2$ to bound the possible integers $k$

视频讲解：

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文字解答：

令 $k=\left\lfloor\sqrt n\right\rfloor\text{。}$ 原方程给出 $n=70k-1000$ 。根据取整函数的定义， $k^2\le n<(k+1)^2\text{。}$ 代入 $n=70k-1000$ ，得到 $k^2\le 70k-1000<(k+1)^2\text{。}$

左侧不等式为 $\begin{aligned} &k^2-70k+1000\le0 \\ &\quad \Longrightarrow (k-20)(k-50)\le0\text{，} \end{aligned}$ 所以 $20\le k\le50$ 。右侧不等式为 $\begin{aligned} &70k-1000<k^2+2k+1 \\ &\quad \Longrightarrow k^2-68k+1001>0\text{。} \end{aligned}$ 二次式 $k^2-68k+1001$ 的根为 $34\pm\sqrt{155}$ ，约为 $21.55$ 和 $46.45$ 。结合 $20\le k\le50$ ，可能的整数为 $k=20,21,47,48,49,50\text{。}$ 共 $6$ 个。

所以正确答案是 C。

Let $k=\left\lfloor\sqrt n\right\rfloor.$ The equation gives $n=70k-1000.$ Also, by the definition of the floor function, $k^2\le n<(k+1)^2.$ Substituting $n=70k-1000,$ we get $k^2\le 70k-1000<(k+1)^2.$

The left inequality is $\begin{aligned} &k^2-70k+1000\le0 \\ &\quad \Longrightarrow (k-20)(k-50)\le0, \end{aligned}$ so $20\le k\le50.$ The right inequality is $\begin{aligned} &70k-1000<k^2+2k+1 \\ &\quad \Longrightarrow k^2-68k+1001>0. \end{aligned}$ The roots of $k^2-68k+1001$ are $34\pm\sqrt{155},$ which are approximately $21.55$ and $46.45.$ Thus, together with $20\le k\le50,$ the possible integer values are $k=20,21,47,48,49,50.$ There are $6$ such values.

Thus, C is the correct answer.

2020 AMC 10B 第 24 题