Question

在长方形 $ABCD$ 中， $AB = 8$ ， $BC = 9$ 。点 $H$ 在 $\overline{BC}$ 上且 $BH = 6$ ，点 $E$ 在 $AD$ 上且 $DE = 4$ 。直线 $EC$ 与直线 $AH$ 交于 $G$ ，点 $F$ 在直线 $AD$ 上且 $\overline{GF} \perp \overline{AF}$ 。求 $\overline{GF}$ 的长度。

In rectangle $ABCD,$ we have $AB = 8,$ $BC = 9,$ $H$ is on $\overline{BC}$ with $BH = 6,$ $E$ is on $AD$ with $DE = 4,$ line $EC$ intersects line $AH$ at $G,$ and $F$ is on line $AD$ with $\overline{GF} \perp \overline{AF}.$ Find the length $\overline{GF}.$

$16$

$20$

$24$

$28$

$30$

答案：B

知识点：坐标几何一次方程

难度评级：1800

小提示：

将 $D$ 放在原点， $A$ 放在正 $x$ 轴上。

Place $D$ at the origin with $A$ on the positive $x$ -axis

大提示：

求直线 $AH$ 和 $EC$ 的交点； $\overline{GF}$ 是点 $G$ 到直线 $AD$ 的高度。

Find where line $AH$ and line $EC$ meet, then $\overline{GF}$ is the height of $G$ above line $AD$

解答：

取坐标 $D = (0, 0)$ 、 $A = (9, 0)$ 、 $B = (9, 8)$ 、 $C = (0, 8)$ 、 $H = (3, 8)$ 、 $E = (4, 0)$ 。

直线 $AH$ 的方程为 $y = -\dfrac{4}{3}x + 12$ ，直线 $EC$ 的方程为 $y = -2x + 8$ 。

联立得 $x = -6$ 、 $y = 20$ ，所以 $G = (-6, 20)$ 。因为 $\overline{GF}$ 垂直于直线 $AD$ ，也就是垂直于 $x$ 轴，所以其长度就是高度 $20$ 。

所以正确答案是 B。

Place $D = (0, 0),$ $A = (9, 0),$ $B = (9, 8),$ $C = (0, 8),$ $H = (3, 8),$ and $E = (4, 0).$

Line $AH$ has equation $y = -\dfrac{4}{3}x + 12,$ and line $EC$ has equation $y = -2x + 8.$

Setting them equal gives $x = -6$ and $y = 20,$ so $G = (-6, 20).$ Since $\overline{GF}$ is perpendicular to line $AD$ (the $x$ -axis), its length is the height $20.$

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 10A 第 22 题

答案：B

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

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