Question

一个金字塔有边长为 $1$ 的正方形底面，侧面都是等边三角形。一个立方体放在金字塔内，使其一个面在金字塔底面上，而相对的面所有边都位于金字塔侧面上。这个立方体的体积是多少？

A pyramid has a square base with sides of length $1$ and has lateral faces that are equilateral triangles. A cube is placed within the pyramid so that one face is on the base of the pyramid and its opposite face has all its edges on the lateral faces of the pyramid. What is the volume of this cube?

$5\sqrt{2} - 7$

$7 - 4\sqrt{3}$

$\dfrac{2\sqrt{2}}{27}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{9}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{9}$

答案：A

知识点：棱锥正方体体积

难度评级：2150

小提示：

使用穿过金字塔和立方体的对角垂直截面。

Use a diagonal cross-section through the pyramid and cube

大提示：

立方体在截面中对应一个高为 $x$ 、宽为 $\sqrt2x$ 的长方形。

The cube contributes a rectangle of height $x$ and width $\sqrt2x$

解答：

设立方体边长为 $x$ 。作金字塔的一个竖直对角截面，它经过正方形底面的两个相对顶点。

这个截面是斜边为 $\sqrt2$ 的等腰直角三角形。立方体在其中表现为高 $x$ 、宽 $\sqrt2x$ 的长方形，两侧留下两个全等的、直角边为 $x$ 的等腰直角三角形。

因此 $\sqrt2=\sqrt2x+2x$ ，所以 $x=\sqrt2-1$ ，立方体体积为 $x^3=(\sqrt2-1)^3=5\sqrt2-7$ 。

所以正确答案是 A。

Let the cube have side length $x$ . Take a vertical diagonal cross-section of the pyramid through opposite vertices of the square base.

This cross-section is an isosceles right triangle with hypotenuse $\sqrt2$ . The cube appears as a rectangle of height $x$ and width $\sqrt2x$ , leaving two congruent right isosceles triangles of leg $x$ .

Thus $\sqrt2=\sqrt2x+2x$ , so $x=\sqrt2-1$ . The cube volume is $x^3=(\sqrt2-1)^3=5\sqrt2-7$ .

Thus, A is the correct answer.

2011 AMC 10B 第 22 题

答案：A

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题