Question

在长方形 $ABCD$ 中， $\overline{AB}=20$ ， $\overline{BC}=10$ 。点 $E$ 在 $\overline{CD}$ 上，且 $\angle CBE=15^\circ$ 。求 $\overline{AE}$ 的长度。

In rectangle $ABCD,$ $\overline{AB}=20$ and $\overline{BC}=10.$ Let $E$ be a point on $\overline{CD}$ such that $\angle CBE=15^\circ.$ What is $\overline{AE}?$

$\dfrac{20\sqrt3}3$

$10\sqrt3$

$18$

$11\sqrt3$

$20$

答案：E

知识点：特殊直角三角形等腰三角形导角

难度评级：1950

小提示：

构造一个点，使其形成 $30$ - $60$ - $90$ 三角形。

Construct a helpful point making a $30$ - $60$ - $90$ triangle

大提示：

证明这个构造点就是 $E$ 。

Show the constructed point is the same as $E$

解答：

在 $\overline{CD}$ 上取点 $E'$ ，使 $AE'=AB=20$ 。

因为 $AD=10$ ，三角形 $ADE'$ 是 $30$ - $60$ - $90$ 三角形，所以 $\angle DAE'=60^\circ$ ，从而 $\angle BAE'=30^\circ$ 。

又 $AE'=AB$ ，所以三角形 $ABE'$ 是等腰三角形，顶点在 $A$ ，顶角为 $30^\circ$ ，两个底角为 $75^\circ$ 。

于是 $\angle CBE'=90^\circ-75^\circ=15^\circ$ ，因此 $E'=E$ ，所以 $AE=20$ 。

所以正确答案是 E。

Let $E'$ be the point on $\overline{CD}$ such that $AE'=AB=20$ .

Since $AD=10$ , triangle $ADE'$ is a $30$ - $60$ - $90$ triangle, so $\angle DAE'=60^\circ$ and $\angle BAE'=30^\circ$ .

Also $AE'=AB$ , so triangle $ABE'$ is isosceles. Its vertex angle at $A$ is $30^\circ$ , so each base angle is $75^\circ$ .

Therefore $\angle CBE'=90^\circ-75^\circ=15^\circ$ , so $E'=E$ , and $AE=20$ .

Thus, E is the correct answer.

2014 AMC 10A 第 22 题

答案：E

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题