Question

$\triangle XOY$ 是直角三角形，且 $m\angle XOY = 90^\circ$ 。点 $M$ 和 $N$ 分别是直角边 $OX$ 和 $OY$ 的中点。已知 $XN = 19$ 、 $YM = 22$ ，求 $XY$ 。

Let $\triangle XOY$ be a right-angled triangle with $m\angle XOY = 90^\circ.$ Let $M$ and $N$ be the midpoints of legs $OX$ and $OY,$ respectively. Given that $XN = 19$ and $YM = 22,$ what is $XY?$

$24$

$26$

$28$

$30$

$32$

答案：B

知识点：勾股定理中线（几何）方程组

难度评级：1690

小提示：

设 $OM = a$ 、 $ON = b$ ，则 $OX = 2a$ 、 $OY = 2b$ 。

Let $OM = a$ and $ON = b,$ so $OX = 2a$ and $OY = 2b$

大提示：

分别对 $XN$ 和 $YM$ 写出勾股关系，再相加求出 $a^2 + b^2$ 。

Write the Pythagorean relations for $XN$ and $YM,$ then add them to find $a^2 + b^2$

解答：

设 $OM = a$ 、 $ON = b$ ，则 $OX = 2a$ 、 $OY = 2b$ 。由 $O$ 处直角得 $19^2 = (2a)^2 + b^2$ 和 $22^2 = a^2 + (2b)^2\text{。}$

两式相加得 $5(a^2 + b^2) = 19^2 + 22^2 = 845$ ，所以 $a^2 + b^2 = 169$ ，并且 $MN = \sqrt{a^2 + b^2} = 13$ 。

由于 $\triangle XOY \sim \triangle MON$ ，相似比为 $2$ ，所以 $XY = 2\cdot MN = 26$ 。

所以正确答案是 B。

Let $OM = a$ and $ON = b,$ so $OX = 2a$ and $OY = 2b.$ The right angle at $O$ gives $19^2 = (2a)^2 + b^2$ and $22^2 = a^2 + (2b)^2.$

Adding these, $5(a^2 + b^2) = 19^2 + 22^2 = 845,$ so $a^2 + b^2 = 169$ and $MN = \sqrt{a^2 + b^2} = 13.$

Since $\triangle XOY \sim \triangle MON$ with ratio $2,$ we have $XY = 2\cdot MN = 26.$

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 10B 第 22 题

答案：B

难度评级：1690

小提示：

大提示：

解答：

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