Question

Elmo 为一次募捐活动制作 $N$ 个三明治。每个三明治使用 $B$ 团花生酱，每团 $4$ ¢，以及 $J$ 团果酱，每团 $5$ ¢。制作全部三明治所用的花生酱和果酱成本为 $\$2.53$ 。设 $B$ 、 $J$ 和 $N$ 是正整数且 $N \gt 1$ 。Elmo 制作三明治所用果酱的成本是多少？

Elmo makes $N$ sandwiches for a fundraiser. For each sandwich he uses $B$ globs of peanut butter at $4$ ¢ per glob and $J$ blobs of jam at $5$ ¢ per blob. The cost of the peanut butter and jam to make all the sandwiches is $\$2.53.$ Assume that $B,$ $J,$ and $N$ are positive integers with $N \gt 1.$ What is the cost of the jam Elmo uses to make the sandwiches?

$\$1.05$

$\$1.25$

$\$1.45$

$\$1.65$

$\$1.85$

答案：D

知识点：丢番图方程质因数分解分类讨论

难度评级：1860

小提示：

总成本以美分计为 $N(4B+5J)=253$ 。

The total cost in cents is $N(4B+5J)=253$

大提示：

$253=11\cdot23$ ，且 $N \gt 1$ ，所以逐一检验它的因数。

$253=11\cdot23,$ and $N \gt 1,$ so test each factor

解答：

总成本为 $N(4B+5J)=253$ 美分 $=11\cdot23$ 。因为 $N \gt 1$ ，所以 $N\in\{11,23,253\}$ 。

若 $N=253$ 或 $N=23$ ，则 $4B+5J$ 等于 $1$ 或 $11$ ，对正整数不可能。

因此 $N=11$ ，且 $4B+5J=23$ 。唯一正整数解为 $B=2$ 、 $J=3$ 。果酱成本为 $11\cdot3\cdot5=165$ 美分，即 $\$1.65$ 。

所以正确答案是 D。

The total cost is $N(4B+5J)=253$ cents $=11\cdot23.$ Since $N \gt 1,$ $N\in\{11,23,253\}.$

If $N=253$ or $N=23,$ then $4B+5J$ equals $1$ or $11,$ impossible for positive integers.

So $N=11$ and $4B+5J=23,$ whose only positive solution is $B=2,$ $J=3.$ The jam costs $11\cdot3\cdot5=165$ cents, or $\$1.65.$

Thus, the correct answer is D.

2006 AMC 10B 第 22 题

答案：D

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

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