Question

正整数 $x$ 和 $y$ 满足方程 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{1183}$ 。 $x + y$ 的最小可能值是多少？

Positive integers $x$ and $y$ satisfy the equation $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{1183}.$ What is the minimum possible value of $x + y?$

$585$

$595$

$623$

$700$

$791$

答案：B

知识点：根式质因数分解最优化

难度评级：1560

小提示：

$1183 = 7 \cdot 13^2$ ，所以 $\sqrt{1183} = 13\sqrt{7}$ 。

$1183 = 7 \cdot 13^2,$ so $\sqrt{1183} = 13\sqrt{7}$

大提示：

于是 $\sqrt{x} = a\sqrt{7}$ 、 $\sqrt{y} = b\sqrt{7}$ ，且 $a + b = 13$ ；最小化 $x + y = 7(a^2 + b^2)$ 。

Then $\sqrt{x} = a\sqrt{7}$ and $\sqrt{y} = b\sqrt{7}$ with $a + b = 13;$ minimize $x + y = 7(a^2 + b^2)$

解答：

因为 $1183 = 7 \cdot 13^2$ ，所以 $\sqrt{1183} = 13\sqrt7$ 。把所给等式两边平方，可知 $\sqrt{xy}$ 是有理数。因此 $x$ 与 $y$ 有相同的无平方因子部分：记 $x=da^2$ 和 $y=db^2$ ，其中 $d$ 无平方因子，而 $a,b$ 为正整数。于是 $(a+b)\sqrt d=13\sqrt7$ ，所以 $d=7$ ， $a+b=13$ 。因此 $x+y=7(a^2+b^2)$ ，它在 $a$ 与 $b$ 尽量接近时取到最小值。取 $a=6$ 和 $b=7$ ，得 $x+y=7(36+49)=595$ 。因此正确答案是 B。

Since $1183 = 7 \cdot 13^2,$ we have $\sqrt{1183} = 13\sqrt7.$ Squaring the given equation shows that $\sqrt{xy}$ is rational. Thus $x$ and $y$ have the same squarefree part: write $x=da^2$ and $y=db^2,$ where $d$ is squarefree and $a,b$ are positive integers. Then $(a+b)\sqrt d=13\sqrt7,$ so $d=7$ and $a+b=13.$ Therefore $x+y=7(a^2+b^2),$ which is smallest when $a$ and $b$ are as close as possible. Taking $a=6$ and $b=7$ gives $x+y=7(36+49)=595.$ Thus, B is the correct answer.

2024 AMC 10B 第 13 题

答案：B

难度评级：1560

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解答：

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