Question

Un triángulo similar al de Pascal tiene $10$ como fila superior y $10$ seguido de $1$ como segunda fila. En cada fila siguiente el primer número es $10,$ el último número es $1,$ y, como en el triángulo de Pascal estándar, cada otro número de la fila es la suma de los dos números directamente encima de él. Las primeras cuatro filas se muestran a continuación.

¿Cuál es la suma de los dígitos de la suma de los números de la $11$ ª fila?

A Pascal-like triangle has $10$ as the top row and $10$ followed by $1$ as the second row. In each subsequent row the first number is $10,$ the last number is $1,$ and, as in the standard Pascal triangle, each other number in the row is the sum of the two numbers directly above it. The first four rows are shown below.

What is the sum of the digits of the sum of the numbers in the $11$ th row?

$11$

$13$

$14$

$16$

$17$

Solución:

Sea $S_n$ la suma de la fila $n.$ Cada entrada de la fila $n-1$ alimenta las dos entradas justo debajo de ella, y los números fijos del borde $10$ y $1$ compensan exactamente los términos perdidos en los extremos. Así que $S_n = 2 S_{n-1}$ para $n \ge 3.$ Con $S_2 = 11,$ esto da $S_n = 11 \cdot 2^{n-2},$ así que $S_{11} = 11 \cdot 2^9 = 5632.$ Sus dígitos suman $5 + 6 + 3 + 2 = 16.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $S_n$ be the sum of row $n.$ Each entry in row $n-1$ feeds the two entries just below it, and the fixed border numbers $10$ and $1$ exactly make up for the terms lost at the edges. So $S_n = 2 S_{n-1}$ for $n \ge 3.$ With $S_2 = 11,$ this gives $S_n = 11 \cdot 2^{n-2},$ so $S_{11} = 11 \cdot 2^9 = 5632.$ Its digits sum to $5 + 6 + 3 + 2 = 16.$ Thus, D is the correct answer.

2025 AMC 10B Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años