Question

Según la convención estándar para la potenciación, $2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{16}=65{,}536.$ Si se cambia el orden en que se realizan las potencias, ¿cuántos otros valores son posibles?

According to the standard convention for exponentiation, $2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{16}=65{,}536.$ If the order in which the exponentiations are performed is changed, how many other values are possible?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución:

Hay cinco maneras de agrupar la torre con paréntesis. Tres de ellas, $(2^2)^{\left(2^2\right)},$ $\left(2^{\left(2^2\right)}\right)^2,$ y $\left(\left(2^2\right)^2\right)^2,$ valen todas $2^{8}=256.$ Las otras dos dan el valor estándar $2^{16}=65{,}536.$

Así pues, solo es posible un valor más, $256,$ además del estándar.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are five ways to parenthesize the tower. Three of them, $(2^2)^{\left(2^2\right)},$ $\left(2^{\left(2^2\right)}\right)^2,$ and $\left(\left(2^2\right)^2\right)^2,$ all equal $2^{8}=256.$ The other two both give the standard value $2^{16}=65{,}536.$

So exactly one other value, $256,$ is possible.

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 10A Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años