Question

¿Cuántos triángulos isósceles hay con área positiva cuyas longitudes de lado son todos enteros positivos y cuyo lado más largo tiene longitud $2025$ ?

How many isosceles triangles are there with positive area whose side lengths are all positive integers and whose longest side has length $2025?$

$2025$

$2026$

$3012$

$3037$

$4050$

Solución:

Divide en dos casos. Supón que dos lados son iguales a $2025.$ Entonces el tercer lado puede ser cualquier entero desde $1$ hasta $2025,$ lo que da $2025$ triángulos. Ahora supón que $2025$ es el único lado más largo. Los dos lados iguales $s$ deben satisfacer $2s \gt 2025$ por la desigualdad triangular, y $s \le 2024.$ Así que $s$ va desde $1013$ hasta $2024,$ lo que da $1012$ triángulos. Sumando, $2025 + 1012 = 3037.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Split into two cases. Say two sides both equal $2025.$ Then the third side can be any integer from $1$ to $2025,$ which is $2025$ triangles. Now suppose $2025$ is the unique longest side. The two equal legs $s$ must satisfy $2s \gt 2025$ by the triangle inequality, and $s \le 2024.$ So $s$ runs from $1013$ to $2024,$ giving $1012$ triangles. Adding up, $2025 + 1012 = 3037.$ Thus, D is the correct answer.

2025 AMC 10A Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años