Question

La suma de tres números es $96.$ El primer número es $6$ veces el tercer número, y el tercer número es $40$ menos que el segundo número. ¿Cuál es el valor absoluto de la diferencia entre el primer y el segundo número?

The sum of three numbers is $96.$ The first number is $6$ times the third number, and the third number is $40$ less than the second number. What is the absolute value of the difference between the first and second numbers?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución:

Sean $x, y,$ y $z$ los tres números. Las condiciones del problema nos dan las siguientes relaciones:

$\begin{gather*} x + y + z = 96 \tag*{(1)} \\ x = 6z \tag*{(2)} \\ z = y - 40 \tag*{(3)}. \end{gather*}$

Reordenando $(3),$ obtenemos $y = z + 40.$ Sustituyendo esta nueva ecuación y $(2)$ en $(1),$ obtenemos $6z + z + 40 + z = 96$ $8z + 40 = 96$ $8z = 56 \Rightarrow z = 7.$

De aquí obtenemos que $x = 6 \cdot z = 6 \cdot 7 = 42$ y $y = z + 40 = 7 + 40 = 47.$

Por consiguiente, $y - x = 47 - 42 = 5.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let $x, y,$ and $z$ be the three numbers. The conditions from the problem give us the following relations:

$\begin{gather*} x + y + z = 96 \tag*{(1)} \\ x = 6z \tag*{(2)} \\ z = y - 40 \tag*{(3)}. \end{gather*}$

Rearranging $(3),$ we get $y = z + 40.$ Plugging this new equation and $(2)$ into $(1),$ we get $6z + z + 40 + z = 96$ $8z + 40 = 96$ $8z = 56 \Rightarrow z = 7.$

From this, we get that $x = 6 \cdot z = 6 \cdot 7 = 42$ and $y = z + 40 = 7 + 40 = 47.$

Therefore, $y - x = 47 - 42 = 5.$

Thus, E is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años