Question

En la expresión $(\underline{\phantom{x}} \times \underline{\phantom{x}}) + (\underline{\phantom{x}} \times \underline{\phantom{x}})$ cada espacio en blanco debe llenarse con uno de los dígitos $1,$ $2,$ $3,$ o $4,$ usando cada dígito una sola vez. ¿Cuántos valores diferentes se pueden obtener?

In the expression $(\underline{\phantom{x}} \times \underline{\phantom{x}}) + (\underline{\phantom{x}} \times \underline{\phantom{x}})$ each blank is to be filled in with one of the digits $1,$ $2,$ $3,$ or $4,$ with each digit being used once. How many different values can be obtained?

$2$

$3$

$4$

$6$

$24$

Solución:

El orden dentro de un producto no importa, y tampoco importa el orden en que sumamos los dos productos. Así que lo único que importa es cómo se dividen los cuatro dígitos en dos pares. Hay tres divisiones: $1\cdot2 + 3\cdot4 = 14,$ $1\cdot3 + 2\cdot4 = 11,$ y $1\cdot4 + 2\cdot3 = 10.$ Eso da $3$ valores diferentes. Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Order inside a product doesn't matter, and neither does the order we add the two products. So all that matters is how the four digits split into two pairs. There are three splits: $1\cdot2 + 3\cdot4 = 14,$ $1\cdot3 + 2\cdot4 = 11,$ and $1\cdot4 + 2\cdot3 = 10.$ That's $3$ different values. Thus, B is the correct answer.

2018 AMC 10B Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años