Question

¿Cuál es la suma de los dígitos del menor primo que puede escribirse como suma de $5$ primos distintos?

What is the sum of the digits of the smallest prime that can be written as a sum of $5$ distinct primes?

$5$

$7$

$9$

$10$

$11$

Solución:

Supongamos que $2$ es uno de los cinco primos. Entonces el total es par y mayor que $2,$ así que es compuesto. Eso significa que los cinco primos deben ser impares. Los cinco primos impares más pequeños dan $3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 39$ $= 3 \cdot 13,$ que no es primo. No podemos alcanzar $41$ con cinco primos impares distintos, pero $3 + 5 + 7 + 11 + 17 = 43$ es primo. Así que el menor primo de este tipo es $43,$ y su suma de dígitos es $4 + 3 = 7.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Suppose $2$ is one of the five primes. Then the total is even and bigger than $2,$ so it's composite. That means all five primes must be odd. The five smallest odd primes give $3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 39$ $= 3 \cdot 13,$ which isn't prime. We can't hit $41$ with five distinct odd primes, but $3 + 5 + 7 + 11 + 17 = 43$ is prime. So the smallest such prime is $43,$ and its digit sum is $4 + 3 = 7.$ Thus, B is the correct answer.

2024 AMC 10A Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años