Question

La media aritmética de los nueve números del conjunto $\{9, 99, 999, 9999, \ldots, 999999999\}$ es un número de $9$ cifras $M,$ cuyas cifras son todas distintas. ¿Qué cifra no contiene el número $M$ ?

The arithmetic mean of the nine numbers in the set $\{9, 99, 999, 9999, \ldots, 999999999\}$ is a $9$ -digit number $M,$ all of whose digits are distinct. Which digit does the number $M$ not contain?

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Solución:

La media es $\begin{aligned} &\dfrac{1}{9} \\ &\quad {}\cdot \small \left(9 + 99 + 999 + \cdots + 999999999\right) \\ &= 1 + 11 + 111 + \cdots \\ &\quad {}+ 111111111. \end{aligned}$

Sumando estos nueve números formados solo por unos columna por columna se obtiene $M = 123456789.$

La única cifra que le falta a $M$ es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The mean is $\begin{aligned} &\dfrac{1}{9} \\ &\quad {}\cdot \small \left(9 + 99 + 999 + \cdots + 999999999\right) \\ &= 1 + 11 + 111 + \cdots \\ &\quad {}+ 111111111. \end{aligned}$

Adding these nine repunits column by column gives $M = 123456789.$

The only digit missing from $M$ is $0.$

Thus, the correct answer is A.

2002 AMC 10B Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años