Respuesta: 540

Solución:

El caso $n = 1$ da $\tau(1) + \tau(2) = 3,$ así que toda solución tiene $n \ge 2$ y ambos números de divisores son al menos $2.$ Por tanto, $7 = 2 + 5 = 3 + 4,$ de modo que uno de $\tau(n), \tau(n+1)$ es $3$ o $5.$ Ahora bien, $\tau = 3$ corresponde a un cuadrado de primo $p^2,$ mientras que $\tau = 5$ corresponde a una cuarta potencia de primo $p^4.$ Así, uno de $n, n+1$ pertenece a $\{4, 9, 25, 49, 121,$ $169, 289, 361, \ldots\}$ $\cup \{16, 81, 625, \ldots\},$ y su vecino debe tener $\tau = 4$ (en el caso de un cuadrado) o ser primo (en el caso de una cuarta potencia).

Comprobando los vecinos en orden creciente: $n = 8$ funciona $(\tau(8) = 4,$ $\tau(9) = 3);$ $n = 9$ funciona $(\tau(10) = 4);$ $n = 16$ funciona $(\tau(16) = 5,$ $17$ primo$);$ y $n = 25$ funciona $(\tau(26) = 4).$ Después, $49, 81, 169,$ y $289$ fallan: $\tau(48) = 10,$ $\tau(50) = 6,$ $\tau(80) = 10,$ $82$ no es primo, $\tau(168) = 16,$ $\tau(170) = 8,$ $\tau(288) = 18,$ $\tau(290) = 8.$ Luego, $n = 121$ funciona $(\tau(122) = 4)$ y $n = 361$ funciona $(\tau(362) = 4).$

Las seis menores soluciones son $8, 9, 16, 25, 121, 361,$ cuya suma es $540.$