2005 AIME II Problema 14

Question

En el triángulo

ABC,

AB = 13,

BC = 15

y

CA = 14.

El punto

D

está sobre

\overline{BC}

con

CD = 6.

El punto

E

está sobre

\overline{BC}

tal que

\angle BAE \cong \angle CAD.

Dado que

BE = \frac{p}{q},

donde

p

y

q

son enteros positivos primos entre sí, halla

q.

In triangle

ABC,

AB = 13,

BC = 15,

and

CA = 14.

Point

D

is on

\overline{BC}

with

CD = 6.

Point

E

is on

\overline{BC}

such that

\angle BAE \cong \angle CAD.

Given that

BE = \frac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers, find

q.

Respuesta

Respuesta: 463

Conceptos:razón de áreas trigonometría razón y proporción

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Compara

\frac{BD}{DC}

y

\frac{BE}{EC}

escribiendo cada razón como un cociente de áreas calculadas con

\frac{1}{2}xy\sin\theta

para triángulos con vértice

A.

Compare

\frac{BD}{DC}

and

\frac{BE}{EC}

by writing each as a ratio of triangle areas

\frac{1}{2}xy\sin\theta

at vertex

A

Pista grande:

Los ángulos iguales se emparejan: al multiplicar las dos razones se obtiene

\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}.

The equal angles pair up: multiplying the two ratios gives

\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}

Solución:

Una ceviana

AD

divide el lado opuesto en la razón

\begin{aligned} \frac{BD}{DC} &= \frac{[ABD]}{[ACD]} \\ &= \small \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AD \sin\angle BAD}{\frac{1}{2} AC \cdot AD \sin\angle CAD} \\ &= \frac{AB \sin\angle BAD}{AC \sin\angle CAD}, \end{aligned}

y de forma análoga

\frac{BE}{EC} = \frac{AB \sin\angle BAE}{AC \sin\angle CAE}.

Como

\angle BAE = \angle CAD,

también tenemos

\angle BAD = \angle CAE

(cada uno es ese ángulo común más

\angle EAD

), así que multiplicar las dos razones cancela todos los senos:

\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}.

Con

BD = 9,

DC = 6,

AB = 13

y

AC = 14,

esto da

\frac{BE}{EC} = \frac{13^2}{14^2} \cdot \frac{6}{9} = \frac{169}{294}.

Por lo tanto

BE = 15 \cdot \frac{169}{169 + 294} = \frac{2535}{463}.

Como

463

es primo y no divide a

2535 = 3 \cdot 5 \cdot 13^2,

la fracción está en su forma más simple, y

q = 463.

A cevian

AD

splits the opposite side in the ratio

\begin{aligned} \frac{BD}{DC} &= \frac{[ABD]}{[ACD]} \\ &= \small \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AD \sin\angle BAD}{\frac{1}{2} AC \cdot AD \sin\angle CAD} \\ &= \frac{AB \sin\angle BAD}{AC \sin\angle CAD}, \end{aligned}

and similarly

\frac{BE}{EC} = \frac{AB \sin\angle BAE}{AC \sin\angle CAE}.

Since

\angle BAE = \angle CAD,

we also have

\angle BAD = \angle CAE

(each is that common angle plus

\angle EAD

), so multiplying the two ratios cancels all the sines:

\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}.

With

BD = 9,

DC = 6,

AB = 13,

and

AC = 14,

this gives

\frac{BE}{EC} = \frac{13^2}{14^2} \cdot \frac{6}{9} = \frac{169}{294}.

Hence

BE = 15 \cdot \frac{169}{169 + 294} = \frac{2535}{463}.