Question

Hay dos mil puntos sobre un círculo. Marca uno de ellos con $1.$ Desde ese punto, cuenta $2$ puntos en sentido horario y marca el punto alcanzado con $2.$ Desde el punto marcado con $2,$ cuenta $3$ puntos en sentido horario y marca el punto alcanzado con $3.$ (Véase la figura). Continúa este proceso hasta usar todas las marcas $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $1993.$ Algunos puntos del círculo tendrán más de una marca y otros no tendrán ninguna. ¿Cuál es el menor entero que marca el mismo punto que $1993$ ?

Two thousand points are given on a circle. Label one of the points $1.$ From this point, count $2$ points in the clockwise direction and label this point $2.$ From the point labeled $2,$ count $3$ points in the clockwise direction and label this point $3.$ (See figure.) Continue this process until the labels $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $1993$ are all used. Some of the points on the circle will have more than one label and some points will not have a label. What is the smallest integer that labels the same point as $1993?$

Respuesta

Respuesta: 118

Conceptos:Teorema chino del resto aritmética modular residuo cuadrático

Nivel de dificultad: 2550

Pista pequeña:

Mide el desplazamiento horario de cada marca desde el punto marcado con $1$

Measure every label’s clockwise displacement from the point labeled $1$

Pista grande:

Reduce la congruencia cuadrática resultante por separado módulo $32$ y módulo $125$

Reduce the resulting quadratic congruence separately modulo $32$ and modulo $125$

Solución:

La marca $j$ está desplazada $2+3+\cdots+j=\frac{j(j+1)}2-1$ puntos en sentido horario desde la marca $1.$ Por lo tanto, comparte el punto de la marca $1993$ exactamente cuando $j(j+1)\equiv1993\cdot1994$ módulo $4000,$ o, de manera equivalente, cuando $j(j+1)\equiv2042\pmod {4000}.$ Módulo $125,$ las soluciones son $j\equiv6$ y $j\equiv118,$ y módulo $32,$ son $j\equiv9$ y $j\equiv22.$ Al combinarlas mediante el teorema chino del resto se obtiene $\begin{aligned}j\equiv{}&118,1993,\\&2006,3881\pmod {4000}.\end{aligned}$ La menor posibilidad positiva es $118.$

Label $j$ is displaced $2+3+\cdots+j=\frac{j(j+1)}2-1$ points clockwise from label $1.$ Thus it shares the point of label $1993$ exactly when $j(j+1)\equiv1993\cdot1994$ modulo $4000,$ or equivalently when $j(j+1)\equiv2042\pmod {4000}.$ Modulo $125,$ the solutions are $j\equiv6$ and $j\equiv118,$ and modulo $32,$ they are $j\equiv9$ and $j\equiv22.$ Combining these by the Chinese Remainder Theorem gives $\begin{aligned}j\equiv{}&118,1993,\\&2006,3881\pmod {4000}.\end{aligned}$ The smallest positive possibility is $118.$

1993 AIME Problema 9

Respuesta: 118

Nivel de dificultad: 2550

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años