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1991 AIME Problema 9

Intenta el Problema 9 del 1991 AIME a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1991 AIME, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

Supón que sec⁡x+tan⁡x=227\sec x+\tan x=\frac{22}{7} y que csc⁡x+cot⁡x=mn,\csc x+\cot x=\frac{m}{n}, donde mn\frac{m}{n} está en su mínima expresión. Halla m+n.m+n.
Suppose that sec⁡x+tan⁡x=227\sec x+\tan x=\frac{22}{7} and that csc⁡x+cot⁡x=mn,\csc x+\cot x=\frac{m}{n}, where mn\frac{m}{n} is in lowest terms. Find m+n.m+n.
Respuesta: 44
Conceptos:identidad trigonométricamanipulación algebraicafracción
Nivel de dificultad: 2020
Pista pequeña:
Si u=sec⁡x+tan⁡xu=\sec x+\tan x, entonces sec⁡x−tan⁡x=1u\sec x-\tan x=\frac{1}{u}
If u=sec⁡x+tan⁡xu=\sec x+\tan x, then sec⁡x−tan⁡x=1u\sec x-\tan x=\frac{1}{u}
Pista grande:
Reescribe csc⁡x+cot⁡x\csc x+\cot x como sec⁡x+1tan⁡x\frac{\sec x+1}{\tan x}
Rewrite csc⁡x+cot⁡x\csc x+\cot x as sec⁡x+1tan⁡x\frac{\sec x+1}{\tan x}
Solución:
Sea u=sec⁡x+tan⁡x=227.u=\sec x+\tan x=\frac{22}{7}. Como el producto de sec⁡x+tan⁡x\sec x+\tan x y sec⁡x−tan⁡x\sec x-\tan x es 1,1, sec⁡x=u+u−12,tan⁡x=u−u−12.\begin{aligned}\sec x&=\frac{u+u^{-1}}2,\\\tan x&=\frac{u-u^{-1}}2.\end{aligned} Además, csc⁡x+cot⁡x=1+cos⁡xsin⁡x=sec⁡x+1tan⁡x=u+1u−1.\begin{aligned}\csc x+\cot x&=\frac{1+\cos x}{\sin x}\\&=\frac{\sec x+1}{\tan x}\\&=\frac{u+1}{u-1}.\end{aligned} Al sustituir u=227u=\frac{22}{7} se obtiene 2915.\frac{29}{15}. Así, m+n=29+15=44.m+n=29+15=44.
Let u=sec⁡x+tan⁡x=227.u=\sec x+\tan x=\frac{22}{7}. Since sec⁡x+tan⁡x\sec x+\tan x and sec⁡x−tan⁡x\sec x-\tan x have product 1,1, sec⁡x=u+u−12,tan⁡x=u−u−12.\begin{aligned}\sec x&=\frac{u+u^{-1}}2,\\\tan x&=\frac{u-u^{-1}}2.\end{aligned} Also csc⁡x+cot⁡x=1+cos⁡xsin⁡x=sec⁡x+1tan⁡x=u+1u−1.\begin{aligned}\csc x+\cot x&=\frac{1+\cos x}{\sin x}\\&=\frac{\sec x+1}{\tan x}\\&=\frac{u+1}{u-1}.\end{aligned} Substituting u=227u=\frac{22}{7} gives 2915.\frac{29}{15}. Thus m+n=29+15=44.m+n=29+15=44.
Problema 8#8
Examen completo
Problema 10#10

El Problema 9 en otros años

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