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1990 AIME Problema 7

Intenta el Problema 7 del 1990 AIME a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1990 AIME, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

7.

Un triángulo tiene vértices P=(−8,5),P=(-8,5), Q=(−15,−19),Q=(-15,-19), y R=(1,−7).R=(1,-7). La ecuación de la bisectriz de ∠P\angle P puede escribirse en la forma ax+2y+c=0.ax+2y+c=0. Halla a+c.a+c.
A triangle has vertices P=(−8,5),P=(-8,5), Q=(−15,−19),Q=(-15,-19), and R=(1,−7).R=(1,-7). The equation of the bisector of ∠P\angle P can be written in the form ax+2y+c=0.ax+2y+c=0. Find a+c.a+c.
Respuesta: 89
Conceptos:bisectrizgeometría analíticavector
Nivel de dificultad: 2100
Pista pequeña:
Halla los vectores unitarios desde PP hacia QQ y RR
Find the unit vectors from PP toward QQ and RR
Pista grande:
La dirección de la bisectriz interior es la suma de los dos vectores unitarios
The internal angle-bisector direction is the sum of the two unit vectors
Solución:
Tenemos PQ→=(−7,−24)\overrightarrow{PQ}=(-7,-24) de longitud 25,25, y PR→=(9,−12)\overrightarrow{PR}=(9,-12) de longitud 15.15. La suma de sus vectores unitarios es v=(−725,−2425)+(35,−45)=125(8,−44),\begin{aligned}v&=\left(-\frac7{25},-\frac{24}{25}\right)\\&\quad+\left(\frac35,-\frac45\right)\\&=\frac1{25}(8,-44),\end{aligned} así que la bisectriz tiene dirección (2,−11).(2,-11). Un vector normal es (11,2).(11,2). Como pasa por P=(−8,5),P=(-8,5), su ecuación es 11(x+8)+2(y−5)=0,11(x+8)+2(y-5)=0, o bien 11x+2y+78=0.11x+2y+78=0. Por consiguiente, a+c=11+78=89.a+c=11+78=89.
We have PQ→=(−7,−24)\overrightarrow{PQ}=(-7,-24) with length 25,25, and PR→=(9,−12)\overrightarrow{PR}=(9,-12) with length 15.15. The sum of their unit vectors is v=(−725,−2425)+(35,−45)=125(8,−44),\begin{aligned}v&=\left(-\frac7{25},-\frac{24}{25}\right)\\&\quad+\left(\frac35,-\frac45\right)\\&=\frac1{25}(8,-44),\end{aligned} so the angle bisector has direction (2,−11).(2,-11). A normal vector is (11,2).(11,2). Through P=(−8,5),P=(-8,5), its equation is 11(x+8)+2(y−5)=0,11(x+8)+2(y-5)=0, or 11x+2y+78=0.11x+2y+78=0. Hence a+c=11+78=89.a+c=11+78=89.
Problema 6#6
Examen completo
Problema 8#8

El Problema 7 en otros años

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