2021 AMC 12B Fall 第 11 题

Question

Una 同时掷

6

个标准

6

面骰，并计算掷出的

6

个数的乘积。该乘积能被

4

整除的概率是多少？

Una rolls

6

standard

6

-sided dice simultaneously and calculates the product of the

6

numbers obtained. What is the probability that the product is divisible by

4?

\dfrac{3}{4}

\dfrac{57}{64}

\dfrac{59}{64}

\dfrac{187}{192}

\dfrac{63}{64}

答案：C

知识点：骰子（概率）对立事件概率

难度评级：1650

小提示：

用补集计数：乘积中少于两个因子

2

。

Use complementary counting: the product has fewer than two factors of

2

大提示：

追踪每个骰子贡献零个、一个或两个因子

2

。

Track whether each die contributes zero, one, or two factors of

2

解答：

当乘积中至多含一个因子

2

时，它不能被

4

整除。每个骰子掷出奇数的概率为

\tfrac12

；恰好贡献一个因子

2

（即掷出

2

或

6

）的概率为

\tfrac13

；贡献两个因子（即掷出

4

）的概率为

\tfrac16

。

六个骰子全为奇数：

\left(\tfrac12\right)^6 = \tfrac{1}{64}

。恰有一个骰子为

2

或

6

，其余为奇数：

6 \cdot \tfrac13 \cdot \left(\tfrac12\right)^5 = \tfrac{1}{16} = \tfrac{4}{64}

。

不能被四整除的概率为

\tfrac{1}{64} + \tfrac{4}{64} = \tfrac{5}{64}

，因此所求概率为

1 - \tfrac{5}{64} = \tfrac{59}{64}

。

所以正确答案是 C。

The product fails to be divisible by

4

when it has at most one factor of

2.

Each die is odd with probability

\tfrac12,

contributes exactly one factor of

2

(a

2

or

6

) with probability

\tfrac13,

and two factors (a

4

) with probability

\tfrac16.

All six odd:

\left(\tfrac12\right)^6 = \tfrac{1}{64}.

Exactly one die a

2

or

6

and the rest odd:

6 \cdot \tfrac13 \cdot \left(\tfrac12\right)^5 = \tfrac{1}{16} = \tfrac{4}{64}.

The complement is

\tfrac{1}{64} + \tfrac{4}{64} = \tfrac{5}{64},

so the answer is

1 - \tfrac{5}{64} = \tfrac{59}{64}.

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12B Fall 第 11 题

答案：C

难度评级：1650

小提示：

大提示：

解答：

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