2021 AMC 12A Fall 第 12 题

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12.

下式的展开式共有

1001

项，其中系数为有理数的项有多少个？

\left(x\sqrt[3]{2} + y\sqrt{3}\right)^{1000}\text{？}

What is the number of terms with rational coefficients among the

1001

terms in the expansion of

\left(x\sqrt[3]{2} + y\sqrt{3}\right)^{1000}?

0

166

167

500

501

答案：C

知识点：二项式定理整除性

难度评级：1630

小提示：

指数为

k

的项带有

2^{\frac{1000-k}{3}}\,3^{\frac{k}{2}}

；要有理，需要

1000 - k

是

3

的倍数，且

k

是

2

的倍数。

The term for index

k

carries

2^{\frac{1000-k}{3}}\,3^{\frac{k}{2}};

rationality needs

1000 - k

to be a multiple of

3

and

k

to be a multiple of

2

大提示：

这些条件给出

k \equiv 1 \pmod 3

且

k

为偶数，即

k \equiv 4 \pmod 6

。

These force

k \equiv 1 \pmod 3

and

k

even, i.e.

k \equiv 4 \pmod 6

解答：

通项为

\binom{1000}{k}(x\sqrt[3]{2})^{1000-k}(y\sqrt{3})^{k}

，其系数含有

2^{\frac{1000-k}{3}}

和

3^{\frac{k}{2}}

。它有理当且仅当

(1000 - k)

是

3

的倍数且

k

为偶数。

因为

1000 \equiv 1 \pmod 3

，所以需要

k \equiv 1 \pmod 3

且

k

为偶数，合并得

k \equiv 4 \pmod 6

。有效值为

k = 4, 10, \ldots, 1000

，共有

\dfrac{1000 - 4}{6} + 1 = 167

个。

所以正确答案是 C。

The general term is

\binom{1000}{k}(x\sqrt[3]{2})^{1000-k}(y\sqrt{3})^{k},

whose coefficient contains

2^{\frac{1000-k}{3}}

and

3^{\frac{k}{2}}.

This is rational exactly when

(1000 - k)

is a multiple of

3

and

k

is even.

Since

1000 \equiv 1 \pmod 3,

we need

k \equiv 1 \pmod 3

and

k

even, which combine to

k \equiv 4 \pmod 6.

The valid values

k = 4, 10, \ldots, 1000

number

\dfrac{1000 - 4}{6} + 1 = 167.

Thus, the correct answer is C.

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