Question

表达式的展开式有 $1001$ 项，其中有多少项的系数是有理数？ $\left(x\sqrt[3]{2} + y\sqrt{3}\right)^{1000}?$

What is the number of terms with rational coefficients among the $1001$ terms in the expansion of $\left(x\sqrt[3]{2} + y\sqrt{3}\right)^{1000}?$

$0$

$166$

$167$

$500$

$501$

答案：C

知识点：二项式定理整除性

难度评级：1630

解答：

通项为 $\binom{1000}{k}(x\sqrt[3]{2})^{1000-k}(y\sqrt{3})^{k}$ ，其系数含有 $2^{(1000-k)/3}$ 和 $3^{k/2}$ 。它有理当且仅当 $3 \mid (1000 - k)$ 且 $k$ 为偶数。

因为 $1000 \equiv 1 \pmod 3$ ，所以需要 $k \equiv 1 \pmod 3$ 且 $k$ 为偶数，合并得 $k \equiv 4 \pmod 6$ 。有效值为 $k = 4, 10, \ldots, 1000$ ，共有 $\dfrac{1000 - 4}{6} + 1 = 167$ 个。

所以正确答案是 C。

The general term is $\binom{1000}{k}(x\sqrt[3]{2})^{1000-k}(y\sqrt{3})^{k},$ whose coefficient contains $2^{(1000-k)/3}$ and $3^{k/2}.$ This is rational exactly when $3 \mid (1000 - k)$ and $k$ is even.

Since $1000 \equiv 1 \pmod 3,$ we need $k \equiv 1 \pmod 3$ and $k$ even, which combine to $k \equiv 4 \pmod 6.$ The valid values $k = 4, 10, \ldots, 1000$ number $\dfrac{1000 - 4}{6} + 1 = 167.$

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12A Fall 第 12 题

答案：C

难度评级：1630

解答：

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