2021 AMC 12B Spring 第 12 题

Question

假设

S

是一个由正整数组成的有限集合。如果将

S

中的最大整数从

S

中移除，则剩余整数的平均值（算术平均数）为

32

。如果再移除

S

中的最小整数，则剩余整数的平均值为

35

。如果随后把最大整数放回集合，整数的平均值升至

40

。原集合

S

中最大整数比

S

中最小整数大

72

。集合

S

中所有整数的平均值是多少？

Suppose that

S

is a finite set of positive integers. If the greatest integer in

S

is removed from

S,

then the average value (arithmetic mean) of the integers remaining is

32.

If the least integer in

S

is also removed, then the average value of the integers remaining is

35.

If the greatest integer is then returned to the set, the average value of the integers rises to

40.

The greatest integer in the original set

S

is

72

greater than the least integer in

S.

What is the average value of all the integers in the set

S?

36.2

36.4

36.6

36.8

37

答案：D

知识点：平均数方程组

难度评级：1630

小提示：

令

n=|S|

，总和为

T

，最大数为

M

，最小数为

L

；把每个平均值条件写成方程

Let

n=|S|,

total

T,

greatest

M,

least

L;

write each average as an equation

大提示：

用

\dfrac{T-L}{n-1}=40

减去

\dfrac{T-M}{n-1}=32

得到

M-L=8(n-1)

Subtracting

\dfrac{T-M}{n-1}=32

from

\dfrac{T-L}{n-1}=40

gives

M-L=8(n-1)

解答：

令

n=|S|

，

T

为总和，

M

为最大数，

L

为最小数。则

\dfrac{T-M}{n-1}=32

，

\dfrac{T-M-L}{n-2}=35

，且

\dfrac{T-L}{n-1}=40

。

用第三个方程减第一个方程：

\dfrac{M-L}{n-1}=8

。因为

M-L=72

，得

n-1=9

，所以

n=10

。

于是

T-M=288

，且

T-L=360

。中间的方程给出

T-M-L=35\cdot 8=280

，所以

L=288-280=8

，

M=80

。

因此

T=288+80=368

，平均值为

\dfrac{368}{10}=36.8

。

所以正确答案是 D。

Let

n=|S|,

let

T

be the total,

M

the greatest, and

L

the least. Then

\dfrac{T-M}{n-1}=32,

\dfrac{T-M-L}{n-2}=35,

and

\dfrac{T-L}{n-1}=40.

Subtracting the first from the third:

\dfrac{M-L}{n-1}=8.

Since

M-L=72,

we get

n-1=9,

so

n=10.

Then

T-M=288

and

T-L=360.

The middle equation gives

T-M-L=35\cdot 8=280,

so

L=288-280=8

and

M=80.

Thus

T=288+80=368,

and the average is

\dfrac{368}{10}=36.8.

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12B Spring 第 12 题

答案：D

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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