Question

三角形 $ABC$ 中， $AB=13, BC=14$ ，且 $AC=15$ 。点 $P$ 在 $\overline{AC}$ 上，并且 $PC=10$ 。直线 $BP$ 上恰好有两个点 $D$ 和 $E$ ，使四边形 $ABCD$ 和 $ABCE$ 是梯形。距离 $DE$ 是多少？

Triangle $ABC$ has $AB=13, BC=14,$ and $AC=15.$ Let $P$ be the point on $\overline{AC}$ such that $PC=10.$ There are exactly two points $D$ and $E$ on line $BP$ such that quadrilaterals $ABCD$ and $ABCE$ are trapezoids. What is the distance $DE?$

$\dfrac{42}{5}$

$6\sqrt2$

$\dfrac{84}{5}$

$12\sqrt2$

$18$

答案：D

知识点：坐标几何平行线梯形

难度评级：1690

解答：

令 $A=(0,0)$ ， $C=(15,0)$ 。则 $B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right)$ ，且因为 $PC=10$ ， $P=(5,0)$ 。直线 $BP$ 的斜率为 $7$ ，所以其方程为 $y=7(x-5)$ 。

要使 $ABCD$ 成为梯形且 $D$ 在直线 $BP$ 上，取 $CD\parallel AB$ 。过 $C$ 作平行于 $AB$ 的直线，与 $BP$ 相交于 $(\tfrac95,-\tfrac{112}{5})$ 。

对 $ABCE$ ，其中 $E$ 在直线 $BP$ 上，取 $AE\parallel BC$ 。过 $A$ 作平行于 $BC$ 的直线，与 $BP$ 相交于 $(\tfrac{21}{5},-\tfrac{28}{5})$ 。

距离为 $\tfrac{12}{5}$ $\tfrac{84}{5}$ $DE=\tfrac15\sqrt{12^2+84^2}=12\sqrt2$ 。

所以正确答案是 D。

Place $A=(0,0)$ and $C=(15,0).$ Then $B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right),$ and since $PC=10,$ $P=(5,0).$ Line $BP$ has slope $7,$ so it is $y=7(x-5).$

For $ABCD$ to be a trapezoid with $D$ on line $BP,$ take $CD\parallel AB.$ The line through $C$ parallel to $AB$ meets line $BP$ at $(\tfrac95,-\tfrac{112}{5}).$

For $ABCE$ with $E$ on line $BP,$ take $AE\parallel BC.$ The line through $A$ parallel to $BC$ meets line $BP$ at $(\tfrac{21}{5},-\tfrac{28}{5}).$

Their coordinate differences are $\tfrac{12}{5}$ and $\tfrac{84}{5},$ so $DE=\tfrac15\sqrt{12^2+84^2}=12\sqrt2.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12B Spring 第 11 题

答案：D

难度评级：1690

解答：

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