2021 AMC 12B Spring 第 11 题

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11.

三角形

ABC

中，

AB=13

，

BC=14

，且

AC=15

。点

P

在

\overline{AC}

上，并且

PC=10

。直线

BP

上恰好有两个点

D

和

E

，使四边形

ABCD

和

ABCE

是梯形。距离

DE

是多少？

Triangle

ABC

has

AB=13,

BC=14,

and

AC=15.

Let

P

be the point on

\overline{AC}

such that

PC=10.

There are exactly two points

D

and

E

on line

BP

such that quadrilaterals

ABCD

and

ABCE

are trapezoids. What is the distance

DE?

\dfrac{42}{5}

6\sqrt2

\dfrac{84}{5}

12\sqrt2

18

答案：D

知识点：坐标几何平行线梯形

难度评级：1690

小提示：

令

A=(0,0)

，

C=(15,0)

；则

B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right)

，且

P=(5,0)

Place

A=(0,0),

C=(15,0);

then

B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right)

and

P=(5,0)

大提示：

一个梯形需要

CD\parallel AB

，另一个需要

AE\parallel BC

；找出每条平行线与直线

BP

的交点

One trapezoid needs

CD\parallel AB,

the other needs

AE\parallel BC;

find where each parallel line meets line

BP

解答：

令

A=(0,0)

，

C=(15,0)

。则

B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right)

，且因为

PC=10

，

P=(5,0)

。直线

BP

的斜率为

7

，所以其方程为

y=7(x-5)

。

要使

ABCD

成为梯形且

D

在直线

BP

上，取

CD\parallel AB

。过

C

作平行于

AB

的直线，与

BP

相交于

(\tfrac95,-\tfrac{112}{5})

。

对

ABCE

，其中

E

在直线

BP

上，取

AE\parallel BC

。过

A

作平行于

BC

的直线，与

BP

相交于

(\tfrac{21}{5},-\tfrac{28}{5})

。

两点横坐标之差为

\tfrac{12}{5}

，纵坐标之差为

\tfrac{84}{5}

，所以

DE=\tfrac15\sqrt{12^2+84^2}=12\sqrt2

。

所以正确答案是 D。

Place

A=(0,0)

and

C=(15,0).

Then

B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right),

and since

PC=10,

P=(5,0).

Line

BP

has slope

7,

so it is

y=7(x-5).

For

ABCD

to be a trapezoid with

D

on line

BP,

take

CD\parallel AB.

The line through

C

parallel to

AB

meets line

BP

at

(\tfrac95,-\tfrac{112}{5}).

For

ABCE

with

E

on line

BP,

take

AE\parallel BC.

The line through

A

parallel to

BC

meets line

BP

at

(\tfrac{21}{5},-\tfrac{28}{5}).

Their coordinate differences are

\tfrac{12}{5}

and

\tfrac{84}{5},

so

DE=\tfrac15\sqrt{12^2+84^2}=12\sqrt2.

Thus, the correct answer is D.

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