2021 AMC 12A Spring 第 12 题

Question

多项式

z^6 - 10z^5 + Az^4

+ Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16

的所有根都是正整数，且可以重复。

B

的值是多少？

All the roots of the polynomial

z^6 - 10z^5 + Az^4

+ Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16

are positive integers, possibly repeated. What is the value of

B?

-88

-80

-64

-41

-40

答案：A

知识点：韦达定理多项式

难度评级：1710

小提示：

这六个正整数根的和为

10

，乘积为

16

；找出这个多重集合

The six positive integer roots sum to

10

and multiply to

16;

find the multiset

大提示：

根为

2, 2, 2, 2, 1, 1

；

B

等于所有三根乘积之和的相反数

-1

。

The roots are

2, 2, 2, 2, 1, 1;

B

equals

-1

times the sum of products of the roots taken three at a time

解答：

由韦达定理，六个根的和为

10

（即

z^5

系数的相反数），乘积为

16

。因此每个根都是

2^{e_i}

的形式，并且

\sum e_i=4

。因为

2^{e_i}\ge 1+e_i

，六个根的和至少为

6+4=10

。只有当每个

e_i

都是

0

或

1

时才取等号，所以六个根必为

2,2,2,2,1,1

。

因此多项式为

(z - 1)^2 (z - 2)^4

。展开得

\begin{aligned} &(z^2 - 2z + 1) \\ &\quad {}\cdot (z^4 - 8z^3 + 24z^2 - 32z + 16) \\ &= z^6 - 10z^5 + 41z^4 \\ &\quad {}- 88z^3 + 104z^2 \\ &\quad {}- 64z + 16 \end{aligned}\text{。}

z^3

的系数是

B = -88

。

因此，正确答案是 A。

By Vieta’s formulas the six roots sum to

10

(the negative of the

z^5

coefficient) and multiply to

16.

Thus every root is a power

2^{e_i},

with

\sum e_i=4.

Since

2^{e_i}\ge 1+e_i,

the roots have sum at least

6+4=10.

Equality holds only when every

e_i

is

0

or

1,

so the roots must be

2,2,2,2,1,1.

So the polynomial is

(z - 1)^2 (z - 2)^4.

Expanding,

\begin{aligned} &(z^2 - 2z + 1) \\ &\quad {}\cdot (z^4 - 8z^3 + 24z^2 - 32z + 16) \\ &= z^6 - 10z^5 + 41z^4 \\ &\quad {}- 88z^3 + 104z^2 \\ &\quad {}- 64z + 16. \end{aligned}

The coefficient of

z^3

is

B = -88.

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12A Spring 第 12 题

答案：A

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题