2020 AMC 12A 第 12 题

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12.

坐标平面中的直线

\ell

方程为

3x - 5y + 40 = 0

。将这条直线绕点

(20, 20)

逆时针旋转

45^\circ

，得到直线

k

。直线

k

的

x

轴截距的

x

坐标是多少？

Line

\ell

in the coordinate plane has the equation

3x - 5y + 40 = 0.

This line is rotated

45^\circ

counterclockwise about the point

(20, 20)

to obtain line

k.

What is the

x

-coordinate of the

x

-intercept of line

k?

10

15

20

25

30

答案：B

知识点：斜率变换坐标几何

难度评级：1630

小提示：

点

(20, 20)

在

\ell

上，所以也在

k

上；求新的斜率

The point

(20, 20)

lies on

\ell,

so it also lies on

k;

find the new slope

大提示：

斜率

m

旋转

45^\circ

后变为

\dfrac{m + 1}{1 - m}

。

Rotating a slope

m

by

45^\circ

gives

\dfrac{m + 1}{1 - m}

解答：

注意

(20, 20)

满足

3x - 5y + 40 = 0

，所以它在

\ell

上，旋转后仍在

k

上。

\ell

的斜率为

\tfrac{3}{5}

。

旋转

45^\circ

后的斜率为

\dfrac{\tfrac35 + 1}{1 - \tfrac35} = \dfrac{\tfrac85}{\tfrac25} = 4

。

直线

k

为

y - 20 = 4(x - 20)

。令

y = 0

得到

-20 = 4(x - 20)

，所以

x - 20 = -5

，即

x = 15

。

因此，正确答案是 B。

Note

(20, 20)

satisfies

3x - 5y + 40 = 0,

so it is on

\ell

and remains on

k.

The slope of

\ell

is

\tfrac{3}{5}.

Rotating by

45^\circ

gives slope

\dfrac{\tfrac35 + 1}{1 - \tfrac35} = \dfrac{\tfrac85}{\tfrac25} = 4.

Line

k

is

y - 20 = 4(x - 20).

Setting

y = 0

gives

-20 = 4(x - 20),

so

x - 20 = -5

and

x = 15.

Thus, B is the correct answer.

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