Question

如图，等腰直角三角形 $ABC$ 的直角边长为 $1$ 。在其斜边 $\overline{AC}$ 上向外作直角三角形 $ACD$ ，其直角在 $C$ ，且两个三角形的周长相等。 $\sin(2\angle BAD)$ 是多少？

Right triangle $ACD$ with right angle at $C$ is constructed outwards on the hypotenuse $\overline{AC}$ of isosceles right triangle $ABC$ with leg length $1,$ as shown, so that the two triangles have equal perimeters. What is $\sin(2\angle BAD)?$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{\sqrt2}{2}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{7}{9}$

$\dfrac{\sqrt3}{2}$

答案：D

知识点：直角三角形三角恒等式

难度评级：1700

解答：

三角形 $ABC$ 的周长为 $1+1+\sqrt2=2+\sqrt2$ ，且 $AC=\sqrt2$ 。在 $\triangle ACD$ 中设 $CD=d$ 则 $AD=\sqrt{2+d^2}$ ，周长相等给出 $\sqrt2+d+\sqrt{2+d^2}=2+\sqrt2.$

因此 $\sqrt{2+d^2}=2-d$ ，所以 $2+d^2=4-4d+d^2$ ，得 $d=\dfrac12$ 且 $AD=\dfrac32$ 。

因为 $\angle BAC=45^\circ$ ，令 $\theta=\angle CAD$ 则 $2\angle BAD=90^\circ+2\theta$ ，所以 $\sin(2\angle BAD)=\cos 2\theta$ 。又 $\tan\theta=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{1}{2\sqrt2}$ ，因此 $\begin{gathered} \cos2\theta=\dfrac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta} \\ =\dfrac{1-\tfrac18}{1+\tfrac18}=\dfrac{7}{9}. \end{gathered}$

所以正确答案是 D。

Triangle $ABC$ has perimeter $1+1+\sqrt2=2+\sqrt2$ and $AC=\sqrt2.$ In $\triangle ACD$ let $CD=d,$ so $AD=\sqrt{2+d^2}$ and equal perimeters give $\sqrt2+d+\sqrt{2+d^2}=2+\sqrt2.$

Then $\sqrt{2+d^2}=2-d,$ so $2+d^2=4-4d+d^2,$ giving $d=\dfrac12$ and $AD=\dfrac32.$

Since $\angle BAC=45^\circ,$ writing $\theta=\angle CAD$ gives $2\angle BAD=90^\circ+2\theta,$ so $\sin(2\angle BAD)=\cos 2\theta.$ With $\tan\theta=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{1}{2\sqrt2},$ we get $\begin{gathered} \cos2\theta=\dfrac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta} \\ =\dfrac{1-\tfrac18}{1+\tfrac18}=\dfrac{7}{9}. \end{gathered}$

Thus, D is the correct answer.

2019 AMC 12B 第 12 题

答案：D

难度评级：1700

解答：

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