2018 AMC 12B 第 12 题

Question

\overline{AB}

是

\triangle ABC

的一条边，长度为

10

。角

A

的角平分线交

\overline{BC}

于

D

，且

CD=3

。所有可能的

AC

值构成开区间

(m, n)

。求

m+n

。

Side

\overline{AB}

of

\triangle ABC

has length

10.

The bisector of angle

A

meets

\overline{BC}

at

D,

and

CD=3.

The set of all possible values of

AC

is an open interval

(m, n).

What is

m+n?

16

17

18

19

20

答案：C

知识点：角平分线定理三角不等式

难度评级：1820

小提示：

由角平分线定理，

\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{AB}{BD}

。

By the angle bisector theorem,

\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{AB}{BD}

大提示：

令

AC=q

则

BD=\dfrac{30}{q}

；再应用三个三角形不等式。

Let

AC=q,

so

BD=\dfrac{30}{q};

then apply the three triangle inequalities

解答：

令

q=AC

，

r=BD

。由角平分线定理，

\tfrac{q}{3}=\tfrac{10}{r}

，所以

r=\tfrac{30}{q}

。

对三角形三边

q

、

10

、

3+r

应用三角形不等式，并代入

r=\tfrac{30}{q}

得到

(q-15)(q+2)\lt0

和

(q-3)(q+10)\gt0

（第三个不等式自动成立）。合起来得到

3\lt q\lt15

。

所以

(m,n)=(3,15)

，且

m+n=18

。

所以正确答案是 C。

Let

q=AC

and

r=BD.

The angle bisector theorem gives

\tfrac{q}{3}=\tfrac{10}{r},

so

r=\tfrac{30}{q}.

Applying the triangle inequalities to sides

q,

10,

and

3+r

and substituting

r=\tfrac{30}{q}

yields

(q-15)(q+2)\lt0

and

(q-3)(q+10)\gt0

(the third inequality holds automatically). Together these force

3\lt q\lt15.

So

(m,n)=(3,15)

and

m+n=18.

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B 第 12 题

答案：C

难度评级：1820

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题