Question

设 $ABC$ 是等边三角形。将边 $\overline{AB}$ 从 $B$ 向外延长到点 $B'$ ，使 $BB' = 3 \cdot AB$ 。同样地，将边 $\overline{BC}$ 从 $C$ 向外延长到点 $C'$ ，使 $CC' = 3 \cdot BC$ ，并将边 $\overline{CA}$ 从 $A$ 向外延长到点 $A'$ ，使 $AA' = 3 \cdot CA$ 。 $\triangle A'B'C'$ 的面积与 $\triangle ABC$ 的面积之比是多少？

Let $ABC$ be an equilateral triangle. Extend side $\overline{AB}$ beyond $B$ to a point $B'$ so that $BB' = 3 \cdot AB.$ Similarly, extend side $\overline{BC}$ beyond $C$ to a point $C'$ so that $CC' = 3 \cdot BC,$ and extend side $\overline{CA}$ beyond $A$ to a point $A'$ so that $AA' = 3 \cdot CA.$ What is the ratio of the area of $\triangle A'B'C'$ to the area of $\triangle ABC?$

$9 : 1$

$16 : 1$

$25 : 1$

$36 : 1$

$37 : 1$

答案：E

知识点：面积比面积分割等边三角形

难度评级：1660

解答：

令 $X = [\triangle ABC]$ ，并作线段 $CB'$ 、 $AC'$ 和 $BA'$ 。三角形 $BB'C$ 的底边 $BB' = 3 \cdot AB$ ，且从 $C$ 到直线 $AB$ 的高与 $\triangle ABC$ 相同，所以面积为 $3X$ ；同理， $\triangle CC'A$ 和 $\triangle AA'B$ 的面积也各为 $3X$ 。接着， $\triangle AA'C'$ 与 $\triangle ACC'$ 高相同，而前者的底边为后者的 $3$ 倍，所以面积为 $9X$ ；同理， $\triangle CC'B'$ 和 $\triangle BB'A'$ 的面积也各为 $9X$ 。因此所以面积比为 $37 : 1$ 。 $\begin{aligned} &[\triangle A'B'C'] = X \\ &\quad {}+ 3(3X) + 3(9X) \\ &\quad {}= 37X, \end{aligned}$

所以正确答案是 E。

Let $X = [\triangle ABC],$ and draw segments $CB',$ $AC',$ and $BA'.$ Triangle $BB'C$ has base $BB' = 3 \cdot AB$ and the same altitude as $\triangle ABC$ from $C$ to line $AB,$ so its area is $3X;$ likewise $\triangle CC'A$ and $\triangle AA'B$ each have area $3X.$ Next, $\triangle AA'C'$ has $3$ times the base and the same height as $\triangle ACC',$ so its area is $9X;$ similarly $\triangle CC'B'$ and $\triangle BB'A'$ each have area $9X.$ Thus $\begin{aligned} &[\triangle A'B'C'] = X \\ &\quad {}+ 3(3X) + 3(9X) \\ &\quad {}= 37X, \end{aligned}$ so the ratio is $37 : 1.$

Thus, the correct answer is E.

2017 AMC 12B 第 15 题

答案：E

难度评级：1660

解答：

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