2017 AMC 12B 第 15 题

先试着解答 2017 AMC 12B 第 15 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2017 AMC 12B 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

15.

设

ABC

是等边三角形。将边

\overline{AB}

从

B

向外延长到点

B'

，使

BB' = 3 \cdot AB

。同样地，将边

\overline{BC}

从

C

向外延长到点

C'

，使

CC' = 3 \cdot BC

，并将边

\overline{CA}

从

A

向外延长到点

A'

，使

AA' = 3 \cdot CA

。

\triangle A'B'C'

的面积与

\triangle ABC

的面积之比是多少？

Let

ABC

be an equilateral triangle. Extend side

\overline{AB}

beyond

B

to a point

B'

so that

BB' = 3 \cdot AB.

Similarly, extend side

\overline{BC}

beyond

C

to a point

C'

so that

CC' = 3 \cdot BC,

and extend side

\overline{CA}

beyond

A

to a point

A'

so that

AA' = 3 \cdot CA.

What is the ratio of the area of

\triangle A'B'C'

to the area of

\triangle ABC?

9 : 1

16 : 1

25 : 1

36 : 1

37 : 1

答案：E

知识点：面积比面积分割等边三角形

难度评级：1660

小提示：

设

\triangle ABC

的面积为

X

。作

CB'

，

AC'

，

BA'

，把

\triangle A'B'C'

分成若干部分

Let

X

be the area of

\triangle ABC.

Draw

CB',

AC',

BA'

to split

\triangle A'B'C'

into pieces

大提示：

底边为

k

倍且高相同的三角形面积为

k

倍；把每一部分表示为

X

的倍数

A triangle with

k

times the base and the same height has

k

times the area; find each piece as a multiple of

X

解答：

令

X = [\triangle ABC]

，并作线段

CB'

、

AC'

和

BA'

。三角形

BB'C

的底边

BB' = 3 \cdot AB

，且从

C

到直线

AB

的高与

\triangle ABC

相同，所以面积为

3X

；同理，

\triangle CC'A

和

\triangle AA'B

的面积也各为

3X

。接着，

\triangle AA'C'

与

\triangle ACC'

高相同，而前者的底边为后者的

3

倍，所以面积为

9X

；同理，

\triangle CC'B'

和

\triangle BB'A'

的面积也各为

9X

。因此

\begin{aligned} &[\triangle A'B'C'] = X \\ &\quad {}+ 3(3X) + 3(9X) \\ &\quad {}= 37X\text{，} \end{aligned}

所以面积比为

37 : 1

。

所以正确答案是 E。

Let

X = [\triangle ABC],

and draw segments

CB',

AC',

and

BA'.

Triangle

BB'C

has base

BB' = 3 \cdot AB

and the same altitude as

\triangle ABC

from

C

to line

AB,

so its area is

3X;

likewise

\triangle CC'A

and

\triangle AA'B

each have area

3X.

Next,

\triangle AA'C'

has

3

times the base and the same height as

\triangle ACC',

so its area is

9X;

similarly

\triangle CC'B'

and

\triangle BB'A'

each have area

9X.

Thus

\begin{aligned} &[\triangle A'B'C'] = X \\ &\quad {}+ 3(3X) + 3(9X) \\ &\quad {}= 37X, \end{aligned}

so the ratio is

37 : 1.

Thus, the correct answer is E.

其他年份的第 15 题