2017 AMC 12B 第 12 题

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12.

z^{12} = 64

的所有根中，实部为正的根之和是多少？

What is the sum of the roots of

z^{12} = 64

that have a positive real part?

2

4

2 + 2\sqrt{3}

2\sqrt{2} + \sqrt{6}

(1 + \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{3})i

答案：D

知识点：单位根复数对称性

难度评级：1630

小提示：

十二个根位于半径为

\sqrt{2}

的圆上，相邻根相隔

30^\circ

。

The twelve roots lie on a circle of radius

\sqrt{2},

spaced

30^\circ

apart

大提示：

实部为正的根对应角度

0, \pm 30^\circ, \pm 60^\circ

；虚部会成对抵消

The roots with positive real part are at angles

0, \pm 30^\circ, \pm 60^\circ;

imaginary parts cancel in pairs

解答：

z^{12} = 64

的根位于半径

64^{\frac{1}{12}} = \sqrt{2}

的圆上，角度为

30^\circ

的整数倍。实部为正的根对应角度

0, \pm 30^\circ, \pm 60^\circ

。它们的虚部相互抵消，所以和为

\begin{aligned} &\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\cos 30^\circ \\ &\quad {}+ 2\sqrt{2}\cos 60^\circ \\ &\quad {}= \sqrt{2}\bigl(1 + \sqrt{3} + 1\bigr) \\ &\quad {}= 2\sqrt{2} + \sqrt{6} \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 D。

The roots of

z^{12} = 64

lie on the circle of radius

64^{\frac{1}{12}} = \sqrt{2},

at angles that are multiples of

30^\circ.

Those with positive real part are at angles

0, \pm 30^\circ, \pm 60^\circ.

Their imaginary parts cancel, so the sum is

\begin{aligned} &\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\cos 30^\circ \\ &\quad {}+ 2\sqrt{2}\cos 60^\circ \\ &\quad {}= \sqrt{2}\bigl(1 + \sqrt{3} + 1\bigr) \\ &\quad {}= 2\sqrt{2} + \sqrt{6}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.

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