2016 AMC 12B 第 11 题

Question

有多少个边平行于坐标轴、顶点坐标均为整数的正方形，完全位于由直线

y=\pi x

、直线

y=-0.1

和直线

x=5.1

围成的区域内？

How many squares whose sides are parallel to the axes and whose vertices have coordinates that are integers lie entirely within the region bounded by the line

y=\pi x,

the line

y=-0.1,

and the line

x=5.1?

30

41

45

50

57

答案：D

知识点：图形中的形状计数格点分类讨论

难度评级：1630

小提示：

该区域位于

y=\pi x

下方；注意

3\lt\pi\lt4

、

6\lt2\pi\lt7

和

9\lt3\pi\lt10

。

The region sits below

y=\pi x;

note

3\lt\pi\lt4,

6\lt2\pi\lt7,

and

9\lt3\pi\lt10

大提示：

在每个竖条

k\le x\le k+1

中，分别数能放在线下方的

1\times1

、

2\times2

和

3\times3

正方形。

In each vertical strip

k\le x\le k+1,

count the

1\times1,

2\times2,

and

3\times3

squares that fit below the line, then add them up

解答：

左边位于

x=k

的正方形，必须低于其宽度范围内

y=\pi x

的最低点，即

y=\pi k

。对边长

1

，可能的左边位置

k=1,2,3,4

分别贡献

3+6+9+12=30

个正方形。对边长

2

，左边位置

k=1,2,3

贡献

2+5+8=15

个；对边长

3

，左边位置

k=1,2

贡献

1+4=5

个。边长至少为

4

的正方形无法放入，所以总数是

30+15+5=50

。

因此，正确答案是 D。

A square whose left edge is

x=k

must fit below the lowest point of

y=\pi x

over its width, namely

y=\pi k.

For side length

1,

the possible left edges

k=1,2,3,4

contribute

3+6+9+12=30

squares. For side length

2,

the left edges

k=1,2,3

contribute

2+5+8=15,

and for side length

3,

the left edges

k=1,2

contribute

1+4=5.

A square of side at least

4

cannot fit, so the total is

30+15+5=50.

Thus, the correct answer is D.

2016 AMC 12B 第 11 题

答案：D

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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