2012 AMC 12A 第 12 题

先试着解答 2012 AMC 12A 第 12 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2012 AMC 12A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

12.

一个正方形区域

ABCD

在边

CD

上的点

(0, 1)

处与方程为

x^2 + y^2 = 1

的圆外切。顶点

A

和

B

在方程为

x^2 + y^2 = 4

的圆上。这个正方形的边长是多少？

A square region

ABCD

is externally tangent to the circle with equation

x^2 + y^2 = 1

at the point

(0, 1)

on the side

CD.

Vertices

A

and

B

are on the circle with equation

x^2 + y^2 = 4.

What is the side length of this square?

\dfrac{\sqrt{10} + 5}{10}

\dfrac{2\sqrt{5}}{5}

\dfrac{2\sqrt{2}}{3}

\dfrac{2\sqrt{19} - 4}{5}

\dfrac{9 - \sqrt{17}}{5}

答案：D

知识点：坐标几何二次方程对称性

难度评级：1770

小提示：

利用关于

y

轴的对称性，设

A = (a, b)

，

B = (-a, b)

Use the symmetry across the

y

-axis to write

A = (a, b)

and

B = (-a, b)

大提示：

边长水平方向为

2a

，竖直方向为

b - 1

，所以

b = 2a + 1

；代入

a^2 + b^2 = 4

The side length is

2a

horizontally and

b - 1

vertically, so

b = 2a + 1

; substitute into

a^2 + b^2 = 4

解答：

由对称性，设

A = (a, b)

，其中

a \gt 0

，且

B = (-a, b)

。正方形位于切点

(0,1)

上方，所以它的水平宽度为

2a

，高度为

b - 1

。

由于二者相等，

2a = b - 1

，因此

b = 2a + 1

。

代入

a^2 + b^2 = 4

，得到

5a^2 + 4a - 3 = 0

。正根为

a = \dfrac{\sqrt{19} - 2}{5}

，所以边长为

2a = \dfrac{2\sqrt{19} - 4}{5}

。

因此，正确答案是 D。

By symmetry let

A = (a, b)

with

a \gt 0

and

B = (-a, b).

The square sits on the tangent point

(0,1),

so its horizontal width is

2a

and its height is

b - 1.

Since these are equal,

2a = b - 1,

giving

b = 2a + 1.

Substituting into

a^2 + b^2 = 4

yields

5a^2 + 4a - 3 = 0.

The positive root is

a = \dfrac{\sqrt{19} - 2}{5},

so the side length is

2a = \dfrac{2\sqrt{19} - 4}{5}.

Thus, the correct answer is D.

其他年份的第 12 题