Question

一个正方形区域 $ABCD$ 在边 $CD$ 上的点 $(0, 1)$ 处与方程为 $x^2 + y^2 = 1$ 的圆外切。顶点 $A$ 和 $B$ 在方程为 $x^2 + y^2 = 4$ 的圆上。这个正方形的边长是多少？

A square region $ABCD$ is externally tangent to the circle with equation $x^2 + y^2 = 1$ at the point $(0, 1)$ on the side $CD.$ Vertices $A$ and $B$ are on the circle with equation $x^2 + y^2 = 4.$ What is the side length of this square?

$\dfrac{\sqrt{10} + 5}{10}$

$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

$\dfrac{2\sqrt{19} - 4}{5}$

$\dfrac{9 - \sqrt{17}}{5}$

答案：D

知识点：坐标几何二次方程对称性

难度评级：1770

解答：

由对称性，设 $A = (a, b)$ ，其中 $a \gt 0$ ，且 $B = (-a, b)$ 。正方形位于切点 $(0,1)$ 上方，所以它的水平宽度为 $2a$ ，高度为 $b - 1$ 。

由于二者相等， $2a = b - 1$ ，因此 $b = 2a + 1$ 。

代入 $a^2 + b^2 = 4$ ，得到 $5a^2 + 4a - 3 = 0$ 。正根为 $a = \dfrac{\sqrt{19} - 2}{5}$ ，所以边长为 $2a = \dfrac{2\sqrt{19} - 4}{5}$ 。

因此，正确答案是 D。

By symmetry let $A = (a, b)$ with $a \gt 0$ and $B = (-a, b).$ The square sits on the tangent point $(0,1),$ so its horizontal width is $2a$ and its height is $b - 1.$

Since these are equal, $2a = b - 1,$ giving $b = 2a + 1.$

Substituting into $a^2 + b^2 = 4$ yields $5a^2 + 4a - 3 = 0.$ The positive root is $a = \dfrac{\sqrt{19} - 2}{5},$ so the side length is $2a = \dfrac{2\sqrt{19} - 4}{5}.$

Thus, the correct answer is D.

2012 AMC 12A 第 12 题

答案：D

难度评级：1770

解答：

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